Calculadora de derivada numerica de funcao

Derivada numérica de uma função

Uma derivada numérica estima f'(x) a partir de valores amostrados quando não há forma analítica ou ela é cara. A diferença progressiva (forward) f'(x) ≈ (f(x+h) − f(x))/h tem erro O(h); a central f'(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h))/(2h) é O(h²). Um stencil de 5 pontos (−f(x+2h)+8f(x+h)−8f(x−h)+f(x−2h))/(12h) chega a O(h⁴). Exemplo: para f(x) = x² em x = 2 com h = 0,01, a central dá (4,0401 − 3,9601)/0,02 = 4,0000, batendo com o exato 2x = 4. Escolha h em torno de √ε (forward) ou ∛ε (central), onde ε é o epsilon da máquina — muito pequeno e o cancelamento numérico arruína a precisão.

Aplicações e contexto

Derivadas numéricas são base de análise por elementos finitos (FEM), solvers numéricos de EDO/EDP, otimização sem gradiente analítico, processamento de sinais (detecção de taxa de variação) e sensibilidade econômica. Em ML, a diferenciação automática (autograd do PyTorch, JAX, TensorFlow) costuma substituir diferenças finitas porque retorna gradientes exatos até o arredondamento e escala para milhões de parâmetros.

Perguntas frequentes

Forward ou central? Central sempre que puder avaliar os dois lados de x: uma chamada extra te dá uma ordem inteira de precisão.

Posso usar h = 10⁻¹⁵? Não. Subtrair floats quase iguais perde dígitos significativos; o erro total tem forma de U com um h ótimo.

Em que autodiff difere? Autodiff aplica a regra da cadeia simbolicamente no seu código-fonte, dando derivadas exatas sem h para calibrar.