Calculadora de distância ponto a reta 2D

Distância de um ponto a uma reta em 2D

Dada uma reta na forma geral a·x + b·y + c = 0 e um ponto P = (x₀, y₀), a distância perpendicular de P à reta é d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²). O numerador é o valor com sinal da equação da reta em P (zero quando P está sobre a reta); dividir por √(a² + b²) normaliza o vetor normal (a, b) para comprimento unitário. Exemplo: a distância de P = (1, 2) à reta x + y − 3 = 0 é |1 + 2 − 3| / √(1² + 1²) = 0 / √2 = 0 — ou seja, P está exatamente sobre a reta. Para P = (4, 5) e a mesma reta: |4 + 5 − 3| / √2 = 6/√2 ≈ 4,243.

Aplicações

Usada em consultas de proximidade em GIS (qual a distância de um prédio até o eixo da rua mais próxima?), restrições geométricas em CAD (snap a reta, perpendicularidade), computação gráfica (antialiasing de linhas finas), regressão linear (resíduos são distâncias verticais à reta ajustada; a regressão ortogonal usa diretamente esta fórmula), detecção de picos na transformada de Hough e planejamento de trajetória em robótica (distância de segurança a uma parede modelada como reta).

Perguntas frequentes

E se eu tiver a reta na forma reduzida y = m·x + k? Reescreva como m·x − y + k = 0, ou seja, a = m, b = −1, c = k. Então d = |m·x₀ − y₀ + k| / √(m² + 1).

E se a = b = 0? A "reta" degenera — não é mais reta, apenas a equação c = 0. A fórmula divide por zero; trate a entrada como inválida.

Como achar o pé da perpendicular? O ponto da reta mais próximo de P é P − ((a·x₀ + b·y₀ + c)/(a² + b²)) · (a, b). Multiplicar pelo mesmo escalar sem o valor absoluto dá a projeção com sinal ao longo do normal.