Calculadora de distribuição de Poisson probabilidade

Distribuição de Poisson: probabilidade de exatamente k eventos

A distribuição de Poisson dá a probabilidade de observar exatamente k eventos num intervalo fixo quando os eventos são independentes e ocorrem a uma taxa média constante λ: P(X = k) = e^(−λ)·λ^k / k!. Propriedade definidora: média = variância = λ. A distribuição foi popularizada por Ladislaus Bortkiewicz em 1898 com sua famosa análise das mortes por coice de cavalo no exército prussiano. Exemplo: com λ = 3 e k = 2, P(X = 2) = e^(−3)·9 / 2 ≈ 0,224, ou seja, cerca de 22,4% de chance de exatamente 2 eventos. Quando n → ∞ e p → 0 com n·p = λ, a binomial converge para a Poisson — tornando-a a ferramenta natural para eventos raros em grandes populações.

Aplicações

Modelos de fila (M/M/1 em call center e redes de pacotes), contagem de decaimento radioativo, defeitos por unidade no controle de qualidade de manufatura, chegada de clientes no varejo, contagem de mutações em genômica e gols por partida no futebol (cerca de 1,5 por equipe na Premier League).

Perguntas frequentes

O que é k!? Fatorial: 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24. Para argumentos não inteiros, use a função gama — mas o k da Poisson deve ser um inteiro não negativo.

E se a variância for muito maior que a média? Seus dados estão superdispersos e Poisson é o modelo errado. Tente a binomial negativa, que adiciona um parâmetro de dispersão.

Probabilidade acumulada? Some P(X ≤ k) = Σ P(X = i) para i = 0..k. Para λ grande, use a aproximação normal N(λ, λ).

Como estimo λ? Por máxima verossimilhança, o estimador é simplesmente a média amostral: λ̂ = x̄.