Área e Perímetro de Elipse

Área e perímetro da elipse

Dois semi-eixos bastam para definir uma elipse: o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b, com a ≥ b. A área é a parte fácil, porque tem forma fechada limpa, A = π·a·b. Faça a = b e você recupera a área do círculo π·r². O perímetro é que complica. Ele não possui fórmula fechada elementar, então a ferramenta recorre à segunda aproximação de Ramanujan, P ≈ π[3(a + b) - √((3a + b)(a + 3b))], cujo erro fica bem abaixo de 1 ppm nas excentricidades que aparecem no dia a dia. A excentricidade, por sinal, é e = √(1 - b²/a²). Em e = 0 temos um círculo; à medida que e se aproxima de 1, a elipse se alonga até uma forma parabólica. Com a = 5 e b = 3, sai A = 15π ≈ 47,12 e P ≈ 25,53.

Aplicações

Elipses estão por trás das órbitas planetárias, já que a primeira lei de Kepler põe os planetas a orbitar o Sol em elipses com o Sol em um dos focos. Aparecem também nas raias de pistas de atletismo (duas retas fechadas por dois semicírculos, o que os engenheiros aproximam como curva de estádio), nas engrenagens elípticas, nos espelhos ópticos e na seção transversal de elipsoides quando se passa para 3D. A arquitetura recorre aos arcos elípticos também, porque eles distribuem a carga de forma suave.

Perguntas frequentes

Por que não existe fórmula exata para o perímetro? Ao calcular o comprimento de arco você cai numa integral elíptica de segunda espécie, e essa não dá para escrever com funções elementares. Para qualquer uso de engenharia, a aproximação de Ramanujan chega tão perto que pode ser tratada como exata.

E se a = b? Aí a elipse é só um círculo de raio a, então A = π·a² e P = 2π·a, com a excentricidade em zero.

Como encontrar os focos? Os dois ficam sobre o eixo maior, a uma distância c = √(a² - b²) do centro. Quando o eixo maior é horizontal, isso põe os focos em (±c, 0).