Calculadora de equacao do plano por 3 pontos

Plano por 3 pontos: ax + by + cz = d

Um plano em 3D é unicamente determinado por três pontos não colineares P₁, P₂, P₃. O vetor normal vem do produto vetorial de duas arestas: n = (P₂ − P₁) × (P₃ − P₁) = (a, b, c), e então d = a·x₁ + b·y₁ + c·z₁. Exemplo: P₁=(1,0,0), P₂=(0,1,0), P₃=(0,0,1) dão arestas (−1,1,0) e (−1,0,1); produto vetorial é (1,1,1), então o plano é x + y + z = 1. O sinal da normal define a orientação (face frontal/traseira), importante para back-face culling e iluminação.

Aplicações

Computação gráfica (renderização de triângulos, vetores normais para shading Phong, back-face culling), GIS e Modelos Digitais de Elevação (interpolação de altimetria entre pontos amostrais), CAD e modelagem 3D, aviação (cálculo de slope alvo e ângulo de aproximação a partir de waypoints), engenharia estrutural (ajuste de planos de referência a pontos topográficos) e detecção de colisão em motores de física.

Perguntas frequentes

E se os três pontos forem colineares? O produto vetorial dá o vetor nulo e o plano fica indefinido — há infinitos planos passando por uma reta.

A ordem dos pontos importa? Sim para orientação: trocar dois pontos inverte a direção da normal (n → −n), mas o plano geométrico é o mesmo.

Como normalizar a equação? Divida a, b, c, d por ‖n‖ para obter normal unitária — útil em cálculos de distância ponto-plano: dist(P) = |a·x + b·y + c·z − d|.