Calculadora de integral numerica de funcao

Integração numérica (quadratura)

Integração numérica, ou quadratura, aproxima ∫ₐᵇ f(x) dx como uma soma ponderada de valores da função. A regra do trapézio Σ (f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁))/2 · Δx tem erro O(h²). A regra 1/3 de Simpson ajusta parábolas e dá O(h⁴): (h/3)·[f(x₀) + 4Σf(xímpar) + 2Σf(xpar) + f(xₙ)]. A integração de Romberg aplica extrapolação de Richardson sobre estimativas do trapézio para subir a ordens ainda mais altas, enquanto Gauss–Legendre escolhe abscissas e pesos ótimos para integrar polinômios de grau 2n−1 exatamente com n pontos. Exemplo: ∫₀¹ x² dx por Simpson com n = 2 dá (1/6)·[0 + 4·0,25 + 1] = 0,3333…, batendo com o exato 1/3.

Aplicações e contexto

Quadratura é essencial quando ∫ f(x) dx não tem primitiva em forma fechada — ex: ∫ e^(−x²) dx (função erro), ∫ sin(x)/x dx (sinc). Usada em área sob a curva (AUC ROC em ML), volume de revolução, física (trabalho, fluxo elétrico, probabilidade sob PDFs), engenharia (coeficientes de Fourier, matrizes de rigidez em FEM) e finanças (precificação de opções com densidades customizadas).

Perguntas frequentes

Trapézio ou Simpson? Simpson é quase sempre melhor para f suave — mesmas chamadas de função, duas ordens a mais de precisão.

Quando Simpson falha? Em integrandos não suaves, oscilatórios ou singulares: use quadratura adaptativa, Gauss–Kronrod ou regras especializadas (Clenshaw–Curtis).

E em alta dimensão? Regras de grade sofrem da maldição da dimensionalidade — troque por Monte Carlo ou quasi-Monte Carlo acima de 4–5 dimensões.