Calculadora de inversa de matriz 2x2

Inversa 2×2: A⁻¹ = (1/det) · [[d, -b], [-c, a]]

Para A = [[a, b], [c, d]] com det(A) = ad - bc, a inversa é A⁻¹ = (1/det) · [[d, -b], [-c, a]] — troca a diagonal, inverte o sinal da antidiagonal e divide tudo pelo determinante. A é invertível se e somente se det ≠ 0; caso contrário a matriz é singular e não tem inversa. Exemplo: A = [[1, 2], [3, 4]], det = 1·4 - 2·3 = -2, então A⁻¹ = (-1/2) · [[4, -2], [-3, 1]] = [[-2, 1], [1,5, -0,5]]. Verificação: A · A⁻¹ = I. A inversa desfaz a transformação linear A — útil para resolver sistemas Ax = b ⇒ x = A⁻¹b e para reverter transformações geométricas.

Aplicações

Resolução direta de sistemas lineares 2×2 Ax = b, computação gráfica (reverter rotações, escala e cisalhamento), mudanças de sistema de coordenadas em 2D, regressão linear analítica com 2 atributos (β = (XᵀX)⁻¹Xᵀy usada pelo sklearn), filtros de Kalman 2D e problemas de física plana (forças e acelerações).

Perguntas frequentes

E se det = 0? Não existe inversa. As duas linhas são linearmente dependentes (uma é múltipla da outra) e a matriz colapsa o plano em uma reta.

Vale (AB)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹? Não — a identidade correta é (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ (a ordem inverte). Também valem (A⁻¹)⁻¹ = A e det(A⁻¹) = 1/det(A).

Resolver Ax = b com a inversa é boa ideia? Para 2×2 tudo bem. Em matrizes grandes, eliminação gaussiana ou decomposição LU são numericamente mais estáveis do que calcular A⁻¹ e multiplicar.