Determinante Matriz 3×3

Determinante 3×3: regra de Sarrus e expansão por cofatores

Para uma matriz 3×3 [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]], a regra de Sarrus dá det = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi (três diagonais da esquerda para a direita menos três da direita para a esquerda). De forma equivalente, a expansão de Laplace pela primeira linha resulta em det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg), somando cada elemento vezes seu cofator 2×2 com sinal. Exemplo: det([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]]) = 1·(50 - 48) - 2·(40 - 42) + 3·(32 - 35) = 2 + 4 - 9 = -3. Como det ≠ 0, a matriz é invertível. Geometricamente, |det| é o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores-linha (ou coluna), e o sinal indica a orientação (positivo preserva a quiralidade, negativo reflete).

Aplicações

Resolução de sistemas lineares 3×3 pela regra de Cramer, teste de invertibilidade de transformações lineares 3D (rotação, escala, cisalhamento) usadas em computação gráfica e robótica, cálculo do volume do paralelepípedo V = |det|, o jacobiano em integrais triplas para mudança de variáveis (esféricas, cilíndricas) e produto misto via (u × v)·w = det([u, v, w]).

Perguntas frequentes

A regra de Sarrus funciona para matrizes 4×4? Não. Sarrus é específica para 3×3. Para 4×4 e maiores, use expansão de Laplace ou, na prática, eliminação gaussiana (O(n³)).

Por que det = 0 significa que os três vetores são coplanares? Porque o paralelepípedo colapsa para um sólido achatado com volume zero — os três vetores ficam no mesmo plano (linearmente dependentes).

O determinante é invariante a troca de linhas? Não — trocar duas linhas inverte o sinal. Multiplicar uma linha por k multiplica det por k; somar um múltiplo de uma linha a outra deixa det inalterado.