Normal PDF f(x; μ,σ)
Calcule a densidade da distribuição normal (gaussiana) num ponto, a partir da média e do desvio-padrão. Fundamental em estatística, probabilidade e dados.
f(x)
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PDF da Normal: densidade da curva sino
A função densidade de probabilidade da gaussiana é f(x) = (1 / (σ√(2π)))·e^(−(x − μ)² / (2σ²)). O pico fica na média μ, a curva muda de concavidade em μ ± σ e a integral sobre ℝ dá 1. O que a PDF entrega é densidade, não uma probabilidade direta. Para chegar a uma probabilidade você precisa da área (a integral) debaixo da curva. Quando você padroniza, fica com φ(z) = (1/√(2π))·e^(−z²/2), cujo pico ronda os 0,3989 em z = 0. Um teste rápido: com μ = 0, σ = 1 e x = 1, sai f(1) ≈ 0,2420. E a regra 68-95-99,7 continua valendo, com cerca de 68% da massa em μ ± σ, 95% em μ ± 2σ e 99,7% em μ ± 3σ.
Aplicações
Ela aparece em medidas biométricas como altura e QI, nos erros de medição da física e da engenharia e nas finanças, onde Black-Scholes parte de retornos log-normais. O controle estatístico de processo também recorre a ela, e o Six Sigma mira em 3,4 defeitos por milhão. Na regressão, OLS trata os resíduos como normais, e o mesmo vale para as funções de verossimilhança usadas na estimação por máxima verossimilhança.
Perguntas frequentes
f(x) pode ser maior que 1? Pode. Lembre que densidade não é probabilidade. Assim que σ cai abaixo de 1/√(2π) ≈ 0,399, o pico ultrapassa 1. O que sempre dá 1 é a integral total.
Onde estão os pontos de inflexão? Ficam em μ − σ e μ + σ, justo onde a curvatura troca de sinal. Por isso dá para ler σ direto de uma curva sino desenhada.
PDF vs CDF? A PDF informa a densidade num único ponto. A CDF informa a probabilidade que já se acumulou, P(X ≤ x). Uma é a integral da outra.
Quando a normal falha? Ela se complica com dados assimétricos, como renda ou tempo até falha, e com caudas pesadas do tipo que aparece em crashes financeiros. Nesses casos, recorra a uma log-normal, t de Student ou distribuição generalizada de valor extremo.
Ferramentas Relacionadas
Distribuição Normal (PDF e CDF)
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Vazão Necessária de Incêndio
Calcula a vazão de água necessária para um sistema de combate a incêndio, Q = área × taxa de aplicação, multiplicando a área de operação (m²) pela densidade (taxa) de aplicação exigida (L/min por m²). O resultado, em L/min, é a vazão mínima que o sistema de sprinklers ou de aspersores precisa fornecer sobre a área mais desfavorável para controlar o incêndio. A taxa de aplicação depende da classe de risco da ocupação — quanto maior a carga de incêndio e a combustibilidade, maior a densidade exigida pelas normas (NBR/NFPA). É a base do dimensionamento hidráulico e da reserva de água. Informe a área e a taxa de aplicação.
Calculadora de frequencia de relampagos por km2
Calcula a densidade de relampagos por km2 por ano a partir do numero total de descargas observadas e da area em km2 durante o intervalo informado.
Sobretensão de Tafel
Calcula a sobretensão de ativação pela equação de Tafel, η = a + b × log₁₀(i), a partir da constante de Tafel a (V), da inclinação de Tafel b (V/década) e da densidade de corrente i. O resultado, em volts, é o sobrepotencial — o quanto o potencial de um eletrodo se afasta do equilíbrio — necessário para sustentar uma dada densidade de corrente numa reação eletroquímica controlada por ativação. A relação de Tafel é central em cinética de eletrodos, corrosão (extrapolação para obter a corrente de corrosão) e eletrólise. Informe a constante de Tafel, a inclinação e a densidade de corrente.
Bulk (Volume Específico) do Papel
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Massa Específica Aparente (Cerâmica)
Calcula a massa específica aparente (densidade aparente) de uma cerâmica, MEA = massa seca/(massa úmida − massa imersa), pelo método de Arquimedes, considerando o volume total da peça (incluindo poros). É um indicador da densificação alcançada na queima: maior densidade aparente significa menos poros e, geralmente, maior resistência. Usa-se a densidade da água (1 g/cm³) na pesagem hidrostática. Informe a massa seca, a úmida e a imersa.
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