Partícula na Caixa — Energia
Calcula energia E_n = n²·h² / (8·m·L²) para uma partícula em poço infinito.
E_n (J)
—
Partícula na caixa: E_n = n²·h²/(8mL²)
Prenda uma partícula de massa m dentro de um poço 1D infinito de largura L e a energia dela só pode assumir certos valores, E_n = n²·h²/(8mL²), com n percorrendo 1, 2, 3 e assim por diante. Não existe n = 0. O detalhe que costuma pegar de surpresa é que o estado fundamental E_1 fica acima de zero. Esse piso é a energia de ponto zero e ele cai direto do princípio de incerteza de Heisenberg, já que limitar Δx empurra Δp para cima de zero. Como os níveis crescem com n², o espaçamento entre eles aumenta conforme você sobe. Veja um elétron (m = 9,11·10⁻³¹ kg) numa caixa de L = 1 nm: o E_1 dele fica perto de 6,0·10⁻²⁰ J, mais ou menos 0,376 eV. Reduza L em dez vezes e a energia salta cem vezes. É justamente essa sensibilidade ao tamanho que faz a quantização só aparecer em escala nanométrica. Aumente a caixa e os níveis se amontoam tanto que viram um contínuo.
Aplicações
Esse modelo aparece nos poços quânticos (QW) dentro de lasers semicondutores e LEDs de alta luminosidade, nos pontos quânticos (TVs QLED, marcadores fluorescentes biológicos) e nos polímeros conjugados, onde a imagem do elétron livre descreve o sistema π. Também surge na teoria dos orbitais moleculares. E abre o primeiro capítulo de quase todo livro de mecânica quântica, em boa parte porque a conta tem solução exata e limpa.
Perguntas frequentes
Por que n = 0 é proibido? Coloque n = 0 e você obtém ψ ≡ 0 em todo lugar, o que descreve partícula nenhuma. Entre as condições de contorno ψ(0) = ψ(L) = 0 e a necessidade de normalizar, n precisa valer ao menos 1.
O que significa fisicamente a energia de ponto zero? Resfrie o sistema até T = 0 K e a partícula ainda assim não fica parada. Estar confinada em L impõe uma energia cinética mínima não nula, então E_1 segue acima de 0.
Vale para 3D? Vale. A energia vira uma soma, E = (h²/8m)(n_x²/L_x² + n_y²/L_y² + n_z²/L_z²), e agora você carrega três números quânticos. Quando a caixa é um cubo, combinações diferentes podem cair na mesma energia, o que gera degenerescência.
Ferramentas Relacionadas
Velocidade de Grupo da Onda
Calcula a velocidade de grupo de uma onda oceânica em águas profundas, c_g = g·T ÷ (4π), a partir do período T (s). O resultado, em m/s, é a velocidade com que a energia da onda (e a 'envoltória' de um grupo de ondas) se propaga — exatamente metade da celeridade (velocidade de fase) em águas profundas. Essa diferença explica um fenômeno curioso: dentro de um grupo de ondas, cristas individuais surgem na traseira, avançam pelo grupo (mais rápidas que ele) e desaparecem na frente. A velocidade de grupo é a que importa para o transporte de energia e para prever a chegada do swell à costa. Informe o período da onda.
Calculadora de Energia Cinética
Calcula a energia cinética (Ec = ½ m v²) a partir da massa em kg e velocidade em m/s. Resultado em joules.
Energia Dissipada no Ressalto Hidráulico
Calcula a energia específica dissipada em um ressalto hidráulico, ΔE = (y₂ − y₁)³ ÷ (4·y₁·y₂), a partir das profundidades conjugadas de montante y₁ (supercrítica) e jusante y₂ (subcrítica). O ressalto hidráulico é um dos dissipadores de energia mais eficientes da engenharia hidráulica: a turbulência intensa na transição entre os regimes rápido e lento converte energia cinética em calor e som, removendo o excesso de energia do escoamento. Essa perda de carga ΔE é exatamente o que se busca a jusante de vertedouros, comportas e descargas de fundo de barragens — a água chega com energia altíssima (capaz de escavar o leito do rio e comprometer a fundação da estrutura), e a bacia de dissipação induz o ressalto para 'queimar' essa energia de forma controlada, devolvendo ao rio um escoamento manso. Quanto maior o número de Froude incidente (maior a diferença entre y₁ e y₂), maior a fração de energia dissipada — ressaltos com Fr > 9 chegam a dissipar 85% da energia. Informe as profundidades conjugadas de montante e de jusante.
Profundidade Crítica em Canal Retangular
Calcula a profundidade crítica de um canal retangular, y_c = (q² ÷ g)^(1/3), a partir da vazão específica q (vazão por unidade de largura, m³/s/m) e da gravidade g. A profundidade crítica é o tirante para o qual a energia específica do escoamento é mínima, e marca a fronteira entre os dois regimes do escoamento livre: acima dela o escoamento é subcrítico (lento, profundo, Fr < 1, controlado a jusante); abaixo, supercrítico (rápido, raso, Fr > 1, controlado a montante); exatamente nela, Fr = 1. O conceito de profundidade crítica é central na hidráulica de canais e estruturas: define a seção de controle em vertedouros, soleiras e medidores de vazão (calhas Parshall, vertedores), onde o escoamento passa pelo regime crítico de forma estável e a relação vazão-nível é unívoca — permitindo medir a vazão pela carga. Também determina se um ressalto hidráulico pode se formar (transição de supercrítico para subcrítico) e baliza o traçado de linhas d'água em remansos e quedas. Informe a vazão específica do canal.
Velocidade de Sedimentação (Stokes)
Calcula a velocidade de sedimentação (queda terminal) de uma partícula em regime laminar pela Lei de Stokes, v_s = g·d²·(ρ_s − ρ_w) ÷ (18·μ), a partir do diâmetro da partícula d (m), da densidade dos sólidos ρ_s e da água ρ_w (kg/m³) e da viscosidade dinâmica do fluido μ (Pa·s). A velocidade de sedimentação é a velocidade com que uma partícula isolada AFUNDA em um fluido em repouso, quando o peso (menos o empuxo) se equilibra com a força de arrasto. A Lei de Stokes (1851) vale para o regime LAMINAR (partículas pequenas, Reynolds de partícula < ~1) — areia fina, silte, argila — e tem a propriedade notável de a velocidade crescer com o QUADRADO do diâmetro: partículas duas vezes maiores afundam quatro vezes mais rápido. Esse cálculo é fundamental em muitos campos: na sedimentação e na separação de partículas (decantadores, espessadores, clarificadores de tratamento de água e efluentes), na classificação granulométrica por sedimentação (ensaio de granulometria por pipetagem ou densímetro), no transporte de sedimentos em rios e na deposição em reservatórios, e no transporte hidráulico (a velocidade de queda das partículas determina a velocidade crítica de deposição na tubulação). Para partículas grandes (Reynolds maior), a Lei de Stokes deixa de valer e usa-se a velocidade terminal de Newton (regime turbulento). Informe o diâmetro da partícula, as densidades e a viscosidade.
Energia de Moagem (Índice de Bond)
Calcula a energia específica de cominuição (moagem/britagem) pela lei de Bond, W = 10 × Wi × (1/√P₈₀ − 1/√F₈₀), a partir do índice de trabalho de Bond do minério Wi (kWh/t), e dos tamanhos de partícula pelos quais passam 80% do produto (P₈₀) e da alimentação (F₈₀), em micrômetros. O resultado, em kWh por tonelada, é a energia necessária para reduzir o minério do tamanho de alimentação ao de produto. A cominuição é o maior consumo de energia da mineração (até 50% da planta). O índice Wi caracteriza a resistência do minério à fragmentação. É a base do dimensionamento de moinhos e do consumo energético. Informe o Wi, o P₈₀ e o F₈₀.
Os resultados desta ferramenta têm caráter apenas informativo e educativo e não constituem aconselhamento profissional, financeiro, médico, jurídico, tributário ou contábil. Confirme decisões importantes com um profissional qualificado e fontes oficiais.