Partícula na Caixa — Energia
Calcula energia E_n = n²·h² / (8·m·L²) para uma partícula em poço infinito.
E_n (J)
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Partícula na caixa: E_n = n²·h²/(8mL²)
Prenda uma partícula de massa m dentro de um poço 1D infinito de largura L e a energia dela só pode assumir certos valores, E_n = n²·h²/(8mL²), com n percorrendo 1, 2, 3 e assim por diante. Não existe n = 0. O detalhe que costuma pegar de surpresa é que o estado fundamental E_1 fica acima de zero. Esse piso é a energia de ponto zero e ele cai direto do princípio de incerteza de Heisenberg, já que limitar Δx empurra Δp para cima de zero. Como os níveis crescem com n², o espaçamento entre eles aumenta conforme você sobe. Veja um elétron (m = 9,11·10⁻³¹ kg) numa caixa de L = 1 nm: o E_1 dele fica perto de 6,0·10⁻²⁰ J, mais ou menos 0,376 eV. Reduza L em dez vezes e a energia salta cem vezes. É justamente essa sensibilidade ao tamanho que faz a quantização só aparecer em escala nanométrica. Aumente a caixa e os níveis se amontoam tanto que viram um contínuo.
Aplicações
Esse modelo aparece nos poços quânticos (QW) dentro de lasers semicondutores e LEDs de alta luminosidade, nos pontos quânticos (TVs QLED, marcadores fluorescentes biológicos) e nos polímeros conjugados, onde a imagem do elétron livre descreve o sistema π. Também surge na teoria dos orbitais moleculares. E abre o primeiro capítulo de quase todo livro de mecânica quântica, em boa parte porque a conta tem solução exata e limpa.
Perguntas frequentes
Por que n = 0 é proibido? Coloque n = 0 e você obtém ψ ≡ 0 em todo lugar, o que descreve partícula nenhuma. Entre as condições de contorno ψ(0) = ψ(L) = 0 e a necessidade de normalizar, n precisa valer ao menos 1.
O que significa fisicamente a energia de ponto zero? Resfrie o sistema até T = 0 K e a partícula ainda assim não fica parada. Estar confinada em L impõe uma energia cinética mínima não nula, então E_1 segue acima de 0.
Vale para 3D? Vale. A energia vira uma soma, E = (h²/8m)(n_x²/L_x² + n_y²/L_y² + n_z²/L_z²), e agora você carrega três números quânticos. Quando a caixa é um cubo, combinações diferentes podem cair na mesma energia, o que gera degenerescência.
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