Perímetro de Elipse (Ramanujan)

Perímetro da elipse — aproximação de Ramanujan

Diferente do círculo, a elipse não tem fórmula fechada elementar para o perímetro — o valor exato exige a integral elíptica completa de segunda espécie. A fórmula prática mais usada é a primeira aproximação de Ramanujan (1914): P ≈ π·[3(a+b) - √((3a+b)(a+3b))], com precisão melhor que 0,01% para quase toda elipse vista em engenharia. Uma estimativa mais simples, atribuída a Euler, é P ≈ π·√(2(a²+b²)), que superestima visivelmente quando a e b são muito diferentes. Para a = 5 e b = 3, Ramanujan dá P ≈ 25,527; Euler dá ~25,946 — cerca de 1,6% a mais.

Aplicações

Pistas de atletismo usam geometrias ovais em que os comprimentos das raias precisam ser calculados com precisão. Órbitas planetárias e de satélites são elipses, e o comprimento do caminho orbital afeta cálculos de combustível e cronograma. Design industrial de tanques ovalados, juntas, molduras e seções de fuselagem aeronáutica depende de perímetros exatos para corte de material.

Perguntas frequentes

Qual a precisão da fórmula de Ramanujan? Melhor que 0,01% para excentricidades abaixo de 0,95; o erro relativo só cresce perto do limite degenerado da elipse achatada.

E se a = b? A elipse vira círculo e a fórmula se reduz exatamente a P = 2π·a.

Por que não há forma fechada elementar? A integral do comprimento de arco envolve √(1 - e²·sen²θ), que não se expressa em funções elementares finitas — define uma nova função, a "elíptica".