Calculadora de produto escalar em 3D

Produto escalar u · v em 3D

O produto escalar de u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é o número u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = |u|·|v|·cos θ, sendo θ o ângulo entre eles. Os vetores são perpendiculares exatamente quando u · v = 0, e paralelos quando u · v = ±|u||v|. Veja (1, 2, 3) · (4, -5, 6) = 4 - 10 + 18 = 12 como conferência rápida. Ele é comutativo e distributivo, e entrega a cosine similarity cos θ = (u · v) / (|u|·|v|) que aparece o tempo todo em ML.

Aplicações

Ele aparece como o trabalho de uma força em física, W = F · d, na projeção escalar de um vetor sobre outro e na cosine similarity para embeddings em ML, como vetores de palavras em NLP, sistemas de recomendação e busca de imagens. Você também o encontra na decomposição ortogonal de Gram-Schmidt, em testes de interseção raio-plano e sempre que precisa do ângulo entre duas direções em geometria 3D ou robótica.

Perguntas frequentes

Por que u · v é um escalar? Ele mede quanto de u está alinhado com v, o que é uma única magnitude, sem nenhuma direção associada. A fórmula geométrica |u|·|v|·cos θ deixa isso claro.

E se u · v for negativo? Aí θ é obtuso, maior que 90°, e as projeções apontam em sentidos opostos.

Qual a diferença entre produto escalar e vetorial? O escalar devolve um número, uma projeção, e funciona em qualquer dimensão. O vetorial devolve um vetor perpendicular aos dois, e só existe em 3D.