Calculadora de regressão linear coeficientes MQO

Coeficientes MQO: estimando inclinação e intercepto

O método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO ou OLS) estima inclinação e intercepto de y = a·x + b minimizando a soma dos quadrados dos resíduos. Solução fechada: a = Σ((xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)) / Σ(xᵢ − x̄)² e b = ȳ − a·x̄. O teorema de Gauss-Markov garante que o MQO é o melhor estimador linear não enviesado (BLUE) sob os quatro pressupostos clássicos: linearidade, independência dos erros, homocedasticidade (variância constante) e normalidade dos resíduos. Exemplo: pares (1,2), (2,4), (3,5), (4,4), (5,7) dão x̄ = 3, ȳ = 4,4; numerador = 11, denominador = 10, logo a = 1,1 e b = 4,4 − 1,1·3 = 1,1.

Aplicações

Modelos base de machine learning (sklearn.linear_model.LinearRegression, statsmodels OLS), física experimental (lei de Hooke F = k·x estimada a partir de medições de mola), econometria (elasticidade oferta-demanda, curva de Phillips), calibração de instrumentos analíticos e qualquer previsão de vendas/custos a partir de um único preditor.

Perguntas frequentes

Por que resíduos ao quadrado e não valores absolutos? O quadrado gera uma perda convexa diferenciável com solução fechada e penaliza mais os outliers — útil quando grandes erros importam mais.

E se os pressupostos de Gauss-Markov falharem? Heterocedasticidade pede mínimos quadrados ponderados ou erros-padrão robustos; resíduos correlacionados exigem GLS ou modelos de série temporal como ARIMA.

Como interpretar os coeficientes? a é a variação esperada em y para um aumento de uma unidade em x; b é o y previsto quando x = 0 (muitas vezes fora do intervalo dos dados — extrapole com cautela).

O MQO lida com múltiplos preditores? Sim — a forma matricial β̂ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy generaliza o caso simples para a regressão linear múltipla.