Calculadora de superfície de toro de revolução

Área de superfície do toro de revolução

O toro de revolução é obtido ao girar um círculo de raio r (o tubo) em torno de um eixo externo a distância R do centro do círculo. Pelo primeiro teorema de Pappus (superfície = perímetro da curva geratriz × distância percorrida pelo centroide), a área é S = (2π·r) · (2π·R) = 4π²·R·r. Exemplo: um pneu Michelin com aro 22" (R ≈ 0,41 m até o centro do piso) e raio do tubo do piso ≈ 0,075 m dá S = 4π²·0,41·0,075 ≈ 1,21 m² por pneu — multiplicado pelos quatro pneus de um carro, dá ≈ 4,9 m² de superfície de borracha; pintar dez pneus para estoque consumiria tinta para aproximadamente 12 m².

Aplicações

Usado em engenharia de pneus (resistência ao rolamento e área de contato dependem da superfície e da geometria do tubo), núcleos toroidais de indutor (a superfície vezes a seção transversal define a área magnética efetiva), fabricação de gaxetas e O-rings, estimativa da área de parede de tokamaks (revestimento do first-wall do ITER) e coberturas arquitetônicas em anel (a sede do Apple Park é quase um toro).

Perguntas frequentes

Por que o teorema de Pappus funciona? Porque cada arco infinitesimal de comprimento ds do círculo gerador varre uma faixa de área ds·(2π·ρ), onde ρ é a distância do arco ao eixo. Integrando, obtém-se perímetro × (2π × distância do centroide) — para um círculo, isso é 2πr · 2πR.

E se R < r? O círculo gerador cruza o eixo e a superfície se auto-intersecta (toro de fuso). A fórmula 4π²·R·r ainda dá um resultado algébrico, mas deixa de corresponder à área da superfície externa visível.

Como isso difere do volume? O volume usa o segundo teorema de Pappus: V = área da região geratriz × distância percorrida pelo centroide = π·r² · 2π·R = 2π²·R·r².