Calculadora de traco de matriz quadrada

Traço de matriz

O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos da diagonal principal: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + … + aₙₙ. Duas propriedades-chave: o traço é linear (tr(A+B) = tr(A)+tr(B), tr(cA) = c·tr(A)) e invariante sob similaridade, ou seja, tr(P⁻¹AP) = tr(A) — então o traço depende apenas do operador linear, não da base. Também é igual à soma dos autovalores (contando multiplicidade).

Exemplo: para A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], tr(A) = 1 + 5 + 9 = 15.

Aplicações

O traço aparece em PCA (variância total = traço da matriz de covariância), em normalizações de machine learning como BatchNorm e LayerNorm (centralização pela média por feature), na teoria espectral como uma soma rápida de autovalores sem diagonalizar, e na física (traços parciais de matrizes densidade em mecânica quântica, traço do tensor de tensões em mecânica do contínuo).

Perguntas frequentes

Por que o traço é invariante sob similaridade? Porque tr(AB) = tr(BA) para qualquer A, B compatíveis; aplicando isso: tr(P⁻¹·(AP)) = tr((AP)·P⁻¹) = tr(A).

O traço serve para matrizes não quadradas? Não — o traço só é definido para matrizes quadradas, pois exige uma diagonal principal de índices de mesmo comprimento.

Traço vs determinante? Traço = soma dos autovalores; determinante = produto dos autovalores. Ambos são escalares independentes da base, mas capturam informações diferentes.