Calculadora de volume de poliedro regular

Volume dos poliedros regulares (sólidos de Platão)

Os cinco sólidos platônicos são os únicos poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares congruentes que se encontram de modo idêntico em cada vértice. Dada a aresta a, os volumes são: tetraedro V = a³/(6√2) ≈ 0,1178·a³; cubo V = a³; octaedro V = a³·√2/3 ≈ 0,4714·a³; dodecaedro V ≈ 7,6631·a³; icosaedro V ≈ 2,1817·a³. Para a = 5: cubo → 125; tetraedro → ≈ 14,73; octaedro → ≈ 58,93; dodecaedro → ≈ 957,89; icosaedro → ≈ 272,71.

Aplicações

Poliedros regulares aparecem em química (o metano CH₄ tem geometria tetraédrica; SF₆ é octaédrico; C₂₀H₂₀ é o dodecaedrano), química quântica e cristalografia (redes de empacotamento), dados de RPG de mesa (d4 tetraedro, d6 cubo, d8 octaedro, d12 dodecaedro, d20 icosaedro — justos porque toda face tem a mesma probabilidade por simetria), virologia (muitos capsídeos são icosaédricos) e arquitetura (domos geodésicos de Buckminster Fuller).

Perguntas frequentes

Por que existem só cinco sólidos platônicos? A fórmula de Euler V − A + F = 2, junto com a exigência de que ao menos três polígonos regulares se encontrem em cada vértice com soma de ângulos < 360°, deixa apenas estas cinco possibilidades.

Qual tem o maior volume por aresta? O dodecaedro, com larga vantagem (≈ 7,66·a³), porque suas 12 faces pentagonais encerram muito mais espaço do que os triângulos dos sólidos menores.

Os dados de RPG são realmente justos? Sim, em princípio: o grupo de simetria rotacional age transitivamente sobre as faces, então cada face tem probabilidade idêntica ao rolar. Tolerâncias de fabricação podem introduzir pequenos vieses.