Calculadora de Arco Cotangente

O que é o Arco Cotangente?

O arco cotangente (arccot) é a função inversa da cotangente: dado um valor x, retorna o ângulo θ tal que cot(θ) = x. É calculado como arccot(x) = π/2 − arctan(x).

O resultado está sempre no intervalo (0°, 180°). Exemplos: arccot(1) = 45°, arccot(0) = 90°, arccot(−1) = 135°.

Aceita qualquer número real como entrada.

A função arco-cotangente

O arco-cotangente é a inversa da cotangente: acot(x) = θ tal que cot(θ) = x. A convenção mais comum adota domínio ℝ e contradomínio (0, π), produzindo uma curva contínua e decrescente, com assíntotas horizontais em 0 e π. Alguns livros usam [−π/2, π/2] \ {0} — sempre verifique qual convenção a sua ferramenta adota. Exemplo: acot(1) = π/4 = 45°. A derivada é (acot x)' = −1/(1 + x²) — note o sinal negativo, a única diferença em relação à derivada do arco-tangente. Existe uma relação direta: atan(x) + acot(x) = π/2 para todo x > 0, de modo que as duas funções são complementares.

Aplicações: integração, óptica e séries de Fourier

Embora menos presente no ensino elementar que o arco-tangente, o arco-cotangente aparece em tabelas de integração (a primitiva ∫ 1/(1+x²) dx pode ser escrita como atan x + C ou, equivalentemente, −acot x + C), em óptica geométrica para certas fórmulas de ângulo de incidência, em séries de Fourier que surgem de funções racionais, e como expressão alternativa em métodos numéricos.

Perguntas frequentes

Por que há duas convenções para o contradomínio? A escolha (0, π) dá uma curva contínua, enquanto [−π/2, π/2] \ {0} torna acot ímpar (compatível com acot(x) = atan(1/x)). A continuidade costuma prevalecer em textos modernos e sistemas de álgebra computacional.

Como acot se relaciona com atan? Para x > 0: acot(x) = atan(1/x) = π/2 − atan(x). Para x < 0 a fórmula ganha uma correção de π, dependendo da convenção adotada.

Quanto vale acot(0)? Pela convenção (0, π), acot(0) = π/2 = 90°, já que cot(π/2) = 0.

Por que a função é decrescente? Porque a própria cotangente é decrescente em cada um de seus ramos principais, e a inversa preserva essa monotonicidade.