Verificador de Número Perfeito

Números perfeitos: definição e teorema de Euclides-Euler

Um número perfeito é um inteiro positivo n igual à soma de seus divisores próprios (divisores exceto o próprio n). Formalmente, σ(n) − n = n, onde σ é a função soma dos divisores. Menores exemplos: 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; depois 496, 8128. Euclides (Elementos, Livro IX) provou que se 2^p − 1 é primo de Mersenne, então (2^p − 1) · 2^(p−1) é um número perfeito par. Euler provou a recíproca: todo perfeito par tem essa forma. Apenas 51 perfeitos pares são conhecidos até 2024 (cada um associado a um primo de Mersenne descoberto pelo GIMPS). A existência de perfeitos ímpares é um problema em aberto — se existirem, devem exceder 10^3000.

Aplicações e contexto histórico

Números perfeitos são primariamente de interesse teórico em teoria dos números. Embasam trabalhos de Erdős sobre sequências alíquotas e estão profundamente ligados aos primos de Mersenne, os maiores primos já encontrados. Aparecem em matemática recreativa, problemas de olimpíada e tradições místicas (pitagóricos consideravam 6 e 28 espiritualmente significativos).

Perguntas frequentes

Existe algum número perfeito ímpar? Desconhecido — um dos problemas mais antigos em aberto na matemática. Buscas computacionais até 10^3000 não acharam nenhum.

Há infinitos perfeitos? Desconhecido; depende da existência de infinitos primos de Mersenne (também conjecturado mas não provado).

Qual o próximo perfeito após 8128? 33.550.336 (p = 13).

Por que "perfeito"? Tradição grega antiga — pitagóricos viam a igualdade entre um número e a soma de suas partes como sinal de harmonia.