Sequência de Fibonacci

Sobre a Sequência de Fibonacci

A sequência foi descrita pelo matemático Leonardo de Pisa (Fibonacci) no século XIII. Cada termo é a soma dos dois anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… A razão entre termos consecutivos converge para a razão áurea φ ≈ 1,618, que aparece em padrões naturais como flores, conchas e galáxias.

A sequência de Fibonacci e a razão áurea

A sequência de Fibonacci é definida recursivamente por F₀ = 0, F₁ = 1 e Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ para n ≥ 2. Os primeiros termos são 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… A fórmula de Binet dá uma forma fechada: Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, onde φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618 é a razão áurea e ψ = (1−√5)/2. A razão Fₙ₊₁/Fₙ converge para φ. A sequência apareceu na Europa no Liber Abaci (1202), em que Leonardo de Pisa — Fibonacci — a usou para modelar a reprodução de coelhos. Notas algorítmicas: a implementação recursiva ingênua roda em O(2ⁿ) (exponencial, com muitos subproblemas recalculados), versões iterativas ou com memoização são O(n), e a fórmula de Binet é O(1) mas acumula erro de ponto flutuante para n grande; exponenciação matricial dá O(log n).

Aplicações: natureza, arte e finanças

Os números de Fibonacci aparecem na natureza (filotaxia — contagem de pétalas, espirais em girassóis, pinhas e abacaxis), em arte e arquitetura (Modulor de Le Corbusier), na música (compositores como Béla Bartók estruturaram passagens com razões de Fibonacci) e na análise técnica de mercados financeiros (retrações de Fibonacci: 23,6%, 38,2%, 61,8%).

Perguntas frequentes

A sequência começa em 0 ou em 1? A definição moderna mais comum começa em F₀ = 0, F₁ = 1. Alguns textos antigos usam F₁ = F₂ = 1; os valores ficam deslocados em um índice.

O que é a razão áurea? O número φ ≈ 1,6180339… que satisfaz φ² = φ + 1. É o limite de Fₙ₊₁/Fₙ.

Por que a recursão ingênua é lenta? Cada chamada ramifica em duas, recalculando os mesmos valores um número exponencial de vezes. Memoização ou iteração reduz para tempo linear.

Fibonacci está realmente em tudo na natureza? Aparece com frequência em filotaxia e arranjos espirais, mas a afirmação "Fibonacci está em tudo" é exagerada — muitos casos são coincidência ou viés de seleção.