Exponenciação Modular
Calcule a exponenciação modular (b elevado a e, módulo m) de forma rápida pelo método square-and-multiply. Essencial em criptografia RSA e teoria dos números.
bᵉ mod m
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Exponenciação modular: algoritmo e exemplo
A exponenciação modular entrega a^b mod n sem que o gigantesco intermediário a^b chegue a aparecer. O algoritmo de praxe é a exponenciação por quadrados (binary exponentiation). Você percorre os bits de b, eleva a base ao quadrado mod n em cada passo e a multiplica no resultado toda vez que o bit corrente é 1. O custo fica em O(log b) multiplicações.
Veja 3^200 mod 50 como exemplo. Comece com 3² = 9, depois 3⁴ = 81 mod 50 = 31, em seguida 3⁸ = 31² mod 50 = 11, seguindo nesse ritmo e combinando os quadrados cujas posições de bit somam 200. Quando n = p é primo, o pequeno teorema de Fermat encurta a conta: a^(p−1) ≡ 1 (mod p) desde que mdc(a, p) = 1.
Aplicações
- Assinatura e cifragem RSA, em que
c = m^e mod ncom e quase sempre igual a 65537. - Troca de chaves Diffie–Hellman, na qual cada lado calcula
g^x mod p. - ECDSA e os demais protocolos de curvas elípticas, que se apoiam em potências modulares rápidas.
- O teste de primalidade Miller–Rabin e os hashes criptográficos que embutem potências modulares na etapa de compressão.
Perguntas frequentes
Por que não calcular a^b e tirar o mod n no final? Porque a^b pode chegar a bilhões de dígitos. É a redução módulo n em cada passo que impede os números de explodirem.
E se b for negativo? Encontre primeiro o inverso modular de a e só então eleve-o a |b|.
A exponenciação binária é constant-time? Por si só, não. Uma implementação ingênua ramifica nos bits de b, e esse tempo pode vazar o expoente. Para fechar o side channel, as bibliotecas criptográficas recorrem à Montgomery ladder ou a variantes de janela fixa.
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