Linha do Triângulo de Pascal

Triângulo de Pascal: uma linha de coeficientes binomiais

A linha n do triângulo de Pascal nada mais é do que os coeficientes binomiais C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) escritos para k = 0, 1, …, n. Cada entrada é a soma das duas que ficam logo acima dela, e, se você somar uma linha inteira, chega em 2ⁿ. A graça está nos padrões escondidos ali dentro. Tem a simetria C(n, k) = C(n, n − k), as diagonais que carregam números triangulares e tetraédricos e a sequência de Fibonacci à espera nas diagonais ascendentes. Leia as entradas em módulo 2 e o fractal de Sierpinski aparece. Blaise Pascal reuniu tudo isso no Traité du Triangle Arithmétique (1654), mas a estrutura já surge antes em fontes chinesas, indianas e persas. Pegue n = 4 como exemplo: a linha fica 1, 4, 6, 4, 1 e, de fato, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴.

Aplicações: combinatória, probabilidade e álgebra

Essas mesmas linhas alimentam o binômio de Newton (a + b)ⁿ = Σ C(n, k)·a^(n−k)·b^k. Elas cuidam da contagem combinatória, dizendo quantos subconjuntos de tamanho k você consegue formar a partir de n itens. Dão a probabilidade binomial, o número de jeitos de tirar k caras em n lançamentos. E reaparecem na álgebra do ensino médio, nas questões de binômio que caem em vestibulares como o ENEM.

Perguntas frequentes

Onde começa a linha 0? Bem no topo. A linha 0 traz uma única entrada, 1 = C(0, 0), e dali em diante a linha n sempre tem n + 1 entradas.

Por que a soma da linha vale 2ⁿ? Faça os dois termos valerem 1 no binômio de Newton e a resposta cai sozinha: (1 + 1)ⁿ = Σ C(n, k) = 2ⁿ.

Qual a relação com Fibonacci? Some as entradas ao longo das diagonais ascendentes e vão saindo os números de Fibonacci, um atrás do outro.

E o triângulo de Sierpinski? Reduza o triângulo em módulo 2, pinte de preto as entradas ímpares e o padrão fractal de Sierpinski salta à vista.