Permutações P(n,k)

Permutações P(n,k): fórmula e exemplos

Uma permutação (ou arranjo simples) de n objetos distintos tomados k a k, em que a ordem importa, sai de P(n,k) = n! / (n−k)!. Suponha que você queira distribuir ouro, prata e bronze entre 8 corredores. São P(8,3) = 8·7·6 = 336 pódios diferentes. Faça k = n e você cai na permutação total P(n) = n!, que conta todas as ordenações dos n elementos. O que separa isso da combinação é a ordem. Em P(n,k), a sequência ABC e a sequência CBA contam cada uma uma vez; em C(n,k) as duas são tratadas como a mesma coisa.

Aplicações: pódios, PINs e embaralhamento

Permutações aparecem sempre que a ordem carrega significado: o jeito como uma fila se organiza, quem fica em cada degrau do pódio, a eleição de cargos distintos em assembleia (presidente, secretário, tesoureiro), PINs sem dígitos repetidos (P(10,4)=5040), placas de veículo e o algoritmo Fisher-Yates por trás do embaralhamento de música e cartas.

Perguntas frequentes

Permutação ou combinação? Pergunte-se se embaralhar os itens muda alguma coisa. Se muda (pódio, senha, sequência), vá de permutação. Se não muda (comissão, loteria), use combinação.

E se k = 0? P(n,0) = 1. Há uma única forma de arranjar zero objetos, que é o arranjo vazio.

E se k > n? P(n,k) = 0. Não dá para escolher mais objetos distintos do que você de fato tem.

Permite repetição? Não. P(n,k) assume elementos distintos. Quando a repetição entra em jogo, use n^k.