Combinações e Permutações

Quando usar cada um?

Combinação C(n,k): quando a ordem dos elementos não importa. Ex: escolher 3 pessoas de um grupo de 10 para compor uma comissão.

Permutação P(n,k): quando a ordem dos elementos importa. Ex: quantos pódios (1º, 2º, 3º lugar) são possíveis em uma corrida com 10 pilotos.

Análise combinatória: fórmulas e contagem

A análise combinatória conta arranjos de objetos. Uma permutação de n elementos é P(n) = n! — todas as ordenações possíveis. Um arranjo de n objetos tomados k a k, com ordem importando, é A(n,k) = n! / (n−k)!. Uma combinação, em que a ordem não importa, é C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!), também escrita como o coeficiente binomial (n escolhe k). Esses coeficientes são exatamente as entradas do triângulo de Pascal. O princípio fundamental da contagem diz: se um processo tem etapas independentes com a, b, c… resultados, o total é a·b·c… Exemplos: uma senha de 4 dígitos numéricos sem repetição tem A(10,4) = 5040 opções; uma mão de pôquer de 5 cartas em um baralho padrão tem C(52,5) = 2.598.960 possibilidades; a Mega-Sena (6 dezenas em 60) tem C(60,6) = 50.063.860.

Aplicações: probabilidade, criptografia e biologia

A combinatória sustenta a probabilidade (a fórmula clássica de Laplace conta casos favoráveis sobre possíveis), a criptografia (uma chave de k bits tem 2^k valores possíveis), a genética (combinações de alelos) e a bioinformática (contagens em alinhamento de sequências). É conteúdo padrão de ENEM e vestibulares.

Perguntas frequentes

Combinação ou arranjo? Se a ordem importa (pódio, senha, placa), use arranjo. Se a ordem não importa (comissão, loteria, mão de pôquer), use combinação.

Quanto vale 0!? Por convenção, 0! = 1 — isso mantém fórmulas como C(n,0) = 1 consistentes.

E se k > n? Tanto C(n,k) quanto A(n,k) valem 0 — não dá para escolher mais elementos do que existem.

Por que C(n,k) = C(n,n−k)? Escolher quais k incluir equivale a escolher quais n−k excluir.