Arranjos A(n,k)

Arranjos A(n,k)

Um arranjo é uma seleção ordenada de k elementos entre n distintos: A(n,k) = n·(n−1)·…·(n−k+1) = n! / (n−k)!. Aqui a ordem importa, e é justamente isso que separa os arranjos das combinações, que usam a mesma fórmula dividida por k!. Pense num PIN de 4 dígitos sem repetição: ele tem A(10,4) = 10·9·8·7 = 5040 possibilidades. Já escolher o pódio (1º, 2º, 3º) entre 8 corredores dá A(8,3) = 8·7·6 = 336. Vale conhecer alguns casos limites: A(n,0) = 1 (o arranjo vazio), A(n,n) = n! (uma permutação completa) e A(n,k) = 0 quando k > n.

Aplicações e contexto

Aparece na criação de PIN/senha quando você conta o espaço de chaves, na escolha de pódio e em rankings, na escala de turno com posições distintas, em eleições (presidente, vice, secretário em uma assembleia) e nos problemas de combinatória de provas como ENEM, OBM, OBMEP e vestibulares.

Perguntas frequentes

Arranjo ou combinação? O arranjo leva a ordem em conta, então 1º/2º/3º contam como resultados diferentes. A combinação não, então você fica só com "os três vencedores".

Arranjo ou permutação? A permutação usa todos os n elementos, enquanto o arranjo seleciona apenas k deles.

E se houver repetição? Então a contagem passa a ser nᵏ. Um PIN de 4 dígitos que permite repetir, por exemplo, tem 10⁴ = 10000 opções.