Calculadora de Tempo de Espera em Fila

Fila M/M/1: modelo de tempo de espera

O modelo M/M/1 supõe chegadas Poisson (taxa λ), tempos de serviço exponenciais (taxa µ) e um servidor. O sistema é estável apenas quando a utilização ρ = λ / µ < 1. Número médio no sistema L = ρ / (1 − ρ); tempo médio no sistema W = 1 / (µ − λ). Exemplo: λ = 40/h, µ = 60/h → ρ = 0,667, L = 2 clientes, W = 1/20 h = 3 min. O contra-intuitivo: em ρ = 0,8, W = 1/(0,2·µ); em ρ = 0,9, W = 1/(0,1·µ) — o dobro da espera. Quando ρ → 1 a fila explode, por isso sistemas em produção sempre planejam overcapacity. Com k servidores (M/M/k) a solução estacionária é a fórmula Erlang C, base do dimensionamento de call centers.

Aplicações

Usado em dimensionamento de servidores web e banco, escala de call center (Erlang C), SLA de data center, giro de mesa em restaurante, triagem em pronto-socorro, semáforos e projeto de cruzamentos. Sempre que as requisições chegam aleatoriamente e o tempo de atendimento varia, M/M/1 (ou M/M/k) já dá a primeira estimativa útil.

Perguntas frequentes

Por que 90% de utilização parece tão pior que 80%? Porque a espera escala com 1/(1−ρ): de 0,8 para 0,9 dobra a espera; de 0,9 para 0,95 dobra de novo.

M/M/1 é realista? Chegadas reais geralmente se aproximam de Poisson; tempos de serviço raramente são exponenciais de verdade. M/M/1 dá um teto útil e é fácil de calcular à mão.

Como dimensionar com k servidores? Use Erlang C (M/M/k): escolha o menor k tal que a probabilidade de espera e a espera média atinjam seu SLA.

E se ρ ≥ 1? A fila cresce sem limite. É preciso aumentar capacidade, limitar chegadas ou descartar carga.