Curvas Paramétricas

Como usar?

Informe as funções x(t) e y(t) em termos do parâmetro t. A curva é traçada animando t do valor mínimo até o máximo. Tudo do Math está à disposição: sin, cos, PI e companhia. Rode os exemplos para ver curvas clássicas em ação.

Curvas paramétricas: x(t), y(t)

Uma curva paramétrica descreve uma trajetória escrevendo cada coordenada como função de um parâmetro t: x = x(t), y = y(t). Exemplos clássicos incluem o círculo (cos t, sen t), a elipse (a cos t, b sen t), a cicloide (r(t − sen t), r(1 − cos t)), a lemniscata, a hipocicloide e a espiral logarítmica (eᵗ cos t, eᵗ sen t). A principal vantagem sobre y = f(x) é que a forma paramétrica representa curvas que falham no teste da reta vertical, como o círculo, e modela naturalmente o movimento de uma partícula quando t é interpretado como tempo. O vetor velocidade é (x'(t), y'(t)) e o comprimento de arco de t = a até t = b é L = ∫√(x'(t)² + y'(t)²) dt.

Aplicações: física, computação gráfica e engenharia

Curvas paramétricas modelam o movimento de projéteis em balística, são a base da computação gráfica (curvas de Bézier e B-splines são polinômios paramétricos), guiam usinagem CNC e impressão 3D, são usadas em animação para definir trajetórias ao longo do tempo e aparecem em design industrial e robótica (caminhos de garras e efetuadores).

Perguntas frequentes

Por que usar paramétricas em vez de y = f(x)? Muitas curvas não são gráficos de função unívoca — o círculo tem dois valores de y para a maioria dos x. A forma paramétrica codifica todo o traçado e também o sentido do percurso.

Como obter dy/dx a partir de x(t), y(t)? Pela regra da cadeia, dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), válida sempre que dx/dt ≠ 0.

Qual é o intervalo de t? Depende da curva. Para um círculo completo, t ∈ [0, 2π]. Para espirais ou curvas abertas, t pode crescer sem limite.

Qual a diferença para coordenadas polares? Polares são um caso particular em que x = r(t) cos t, y = r(t) sen t e t é o ângulo.