Gerador Lissajous SVG

Curvas de Lissajous: a matemática elegante de duas oscilações perpendiculares

As curvas de Lissajous (ou figuras de Lissajous) foram estudadas sistematicamente pela primeira vez em 1857 pelo físico francês Jules Antoine Lissajous, que construiu um engenhoso aparelho com dois diapasões perpendiculares e espelhos para projetar as figuras de luz numa tela. O matemático norte-americano Nathaniel Bowditch já as havia descrito em 1815, por isso alguns livros chamam de curvas de Bowditch. Tornaram-se o trabalho visual padrão dos osciloscópios: aplique dois sinais nas entradas X e Y em modo XY e a tela desenha a figura em tempo real — uma forma rápida e intuitiva de comparar frequências e fase.

Equações paramétricas e o papel de cada parâmetro

Uma curva de Lissajous é descrita por duas senoides em eixos perpendiculares:

x(t) = A * sin(a * t + δ)
y(t) = B * sin(b * t)

Três grandezas definem a forma: a razão de frequência a:b, a diferença de fase δ e as amplitudes A, B. Alguns casos canônicos:

• Razão 1:1 — círculo (δ = 90°), elipse (outros δ) ou linha diagonal reta (δ = 0° ou 180°).
• Razão 1:2 — clássica figura-oito (lemniscata) quando δ = 90°.
• Razão 2:3 — pretzel de três lóbulos.
• 3:5, 5:4, 7:5 — tecidos cada vez mais intrincados, valorizados pelo seu ritmo visual.

Quando a/b é racional, a curva se fecha sobre si mesma e é periódica; quando irracional, nunca fecha e preenche densamente o retângulo [-A, A] × [-B, B].

Do laboratório de física aos logos de TV

No século XIX Lissajous usou essas figuras para afinar instrumentos — uma figura com fase travada significava frequências idênticas. Laboratórios modernos ainda recorrem ao mesmo recurso em osciloscópios. Culturalmente, as curvas saltaram da tela para o design pop: o logo da ABC Television apresentado em 1962 foi inspirado em padrões de Lissajous, e o logo "lissajous loop" da Australian Broadcasting Corporation (1965, por Bill Kennard) é literalmente uma figura de razão 1:3. A motion graphics da NASA TV, a identidade visual de softwares musicais como Reactable e incontáveis visuais de live coding compartilham o mesmo DNA.

Gerando SVGs de Lissajous

Na programação, iteramos t em [0, 2π * lcm(a, b)], amostramos 500–2000 pontos e emitimos um único <path>. Variações que enriquecem o visual:

• Amortecimento — multiplique por e^(-k·t) para imitar um pêndulo amortecido; popular em animações de "loading".
• Modulação de amplitude ou frequência — varie A ou a com outra senoide para formas orgânicas.
• Cor ao longo do path — divida em vários segmentos <path> e anime o matiz.

Perguntas frequentes

Como Lissajous difere do Spirograph? Ambos são paramétricos, mas Lissajous usa duas senoides independentes (sem círculos rolando), enquanto o spirograph é gerado por uma roda que rola dentro ou ao redor de outro círculo. Lissajous fica confinada num retângulo; spirographs traçam curvas roulette.

A curva sempre fecha? Só quando a razão a/b é racional. Com razão irracional (ex.: a = √2, b = 1) o caminho é denso e nunca se fecha.

Osciloscópios ainda são usados para isso? Sim — osciloscópios analógicos e digitais ainda trazem o modo XY. Engenheiros de áudio usam para detectar problemas de fase entre canais estéreo.

Por que a matemática é tão popular em tatuagens e arte minimalista? Porque um punhado de razões inteiras gera um vocabulário inteiro de formas sem irregularidades — as curvas parecem "perfeitas" sem ficarem estéreis.