Progressão Aritmética (PA)

O que é Progressão Aritmética?

Uma PA é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante (a razão r).

• Termo geral: aₙ = a₁ + (n − 1) × r
• Soma: Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2

Progressão aritmética (PA)

Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo difere do anterior por uma razão constante r. O termo geral é aₙ = a₁ + (n - 1)·r e a soma dos n primeiros termos é Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2 = n·a₁ + n(n-1)·r/2. Exemplo: para a₁ = 2, r = 3, n = 5, os termos são 2, 5, 8, 11, 14, com a₅ = 14 e S₅ = (2 + 14)·5/2 = 40. A mediana de uma PA finita é o termo central (ou a média dos dois termos centrais quando n é par).

Uma anedota célebre atribui ao jovem Carl Friedrich Gauss (~1786) a soma de 1 + 2 + ... + 100 em poucos segundos: pareando 1+100, 2+99, ..., 50+51, obtêm-se cinquenta pares de soma 101, totalizando 50 · 101 = 5050. Esse truque do pareamento é exatamente a demonstração da fórmula fechada da soma.

Aplicações

PAs aparecem em finanças — a Tabela SAC (sistema de amortização constante) gera uma PA de prestações com amortização fixa e juros decrescentes; a depreciação linear reduz o valor de um ativo por um valor fixo a cada período; parcelas iguais com correção monetária fixa também formam uma PA. Também aparecem ao contar fileiras (pessoas em filas, assentos por nível de estádio) e na progressão de cargas em treinos que aumentam o volume por um valor fixo a cada semana.

Perguntas frequentes

Como encontro r conhecendo dois termos? Use r = (aₘ - aₙ)/(m - n).

O que é uma PA crescente/decrescente/constante? Se r > 0, a PA é crescente; r < 0, decrescente; r = 0, constante (todos os termos iguais).

Diferença para uma progressão geométrica? Numa PA, os termos diferem por um valor constante somado; numa PG, diferem por um valor constante multiplicado (a razão q).

n pode ser não inteiro? Não — n é a posição (1, 2, 3, ...) e deve ser um inteiro positivo.