Corpo Negro — Frequência de Pico

Frequência de pico do corpo negro: f_máx = 2,82·k·T/h

Pegue a distribuição de Planck (1900) e pergunte em que frequência um corpo negro emite mais potência espectral por unidade de frequência. A resposta é f_máx = α·k·T/h. Aqui α ≈ 2,821 sai da raiz de uma equação transcendente, k é a constante de Boltzmann e h é a constante de Planck. Fazendo a conta, chega-se a f_máx ≈ 5,879·10¹⁰ Hz/K · T. A radiação cósmica de fundo (CMB), a T = 2,725 K, tem pico próximo de 160 GHz, na faixa de micro-ondas. É justamente a região que os satélites COBE, WMAP e Planck mapearam. O Sol, a 5778 K, tem pico em torno de 340 THz, no infravermelho próximo.

Aplicações

A cosmologia depende muito disso: a missão Planck da ESA mapeou o pico em 160 GHz da CMB para restringir parâmetros cosmológicos. A fórmula também aparece na radiação Hawking de buracos negros, em que a temperatura cai conforme a massa cresce, na leitura das temperaturas superficiais de estrelas via espectroscopia e no projeto de detectores em ondas milimétricas para radioastronomia.

Perguntas frequentes

Por que a constante difere da lei de Wien em comprimento de onda? A distribuição de Planck assume formas diferentes conforme você a expresse por unidade de comprimento de onda ou por unidade de frequência. Por isso os dois picos caem em pontos distintos do espectro, e eles não satisfazem f_máx = c/λ_máx.

De onde vem o fator 2,821? É a raiz numérica da equação (3 − x)·eˣ = 3, o ponto que maximiza a distribuição de Planck em frequência.

A fórmula vale para qualquer objeto opaco? De forma aproximada, sim. A maioria das fontes térmicas se comporta como corpo cinza (ε ≈ constante), então a posição do pico fica bem prevista. O que muda é a intensidade total, que escala pela emissividade.