Frações Parciais 1/(ax+b)(cx+d)

Frações parciais de 1/((ax+b)(cx+d))

Quando o denominador é o produto de dois fatores lineares distintos, a função racional se abre em 1/((ax + b)(cx + d)) = A/(ax + b) + B/(cx + d). O jeito mais rápido de descobrir A e B é o cover-up de Heaviside. Multiplique os dois lados por (ax + b) e troque x = −b/a, o que deixa A = 1/(c·(−b/a) + d). Com x = −d/c o mesmo raciocínio entrega B = 1/(a·(−d/c) + b). Veja um caso concreto: 1/((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1) − 1/(x + 2). Isso só vale enquanto os fatores forem distintos, ou seja, a·d − b·c ≠ 0. Se eles coincidirem, o denominador vira (ax + b)² e aí entra a forma de raiz repetida. A mesma ideia se estende a fatores repetidos, com um termo por potência, e a quadráticos irredutíveis, em que o numerador é Cx + D.

Onde as frações parciais aparecem

• Cálculo — depois de decompor, ∫1/((ax + b)(cx + d)) dx vira uma soma de logaritmos.
• Transformada de Laplace inversa — você recorre a ela para trazer funções de transferência de volta à resposta no tempo em controle e circuitos.
• EDOs lineares — resolver por Laplace passa por decompor a função racional que surge no caminho.
• Teoria de filtros — com a função de transferência escrita em termos elementares, a análise de estabilidade e frequência fica mais simples.

Perguntas frequentes

E se a·d = b·c? Aí os dois fatores são proporcionais e o denominador colapsa em (ax + b)² a menos de constante. Vá pela forma de raiz repetida A/(ax + b) + B/(ax + b)².

Por que a integral é sempre um logaritmo? Cada A/(ax + b) integra para (A/a) · ln|ax + b|, e somando esses termos a antiderivada acaba sendo uma soma de ln.

O cover-up sempre funciona? Com fatores lineares simples, não repetidos, ele é exato. Para fatores repetidos ou quadráticos, combine com comparação de coeficientes.

Que sinais esperar? Tome a = c = 1 com b ≠ d. Você chega em A = 1/(d − b) e B = 1/(b − d) = −A, ou seja, os dois têm o mesmo módulo e sinais opostos.