Geométrica P(X=k)

Geométrica P(X = k): tentativas até o primeiro sucesso

A distribuição geométrica diz quantos ensaios independentes de Bernoulli são precisos até sair o primeiro sucesso, quando cada ensaio tem probabilidade p: P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) · p, para k ∈ {1, 2, 3, …}. A média é 1/p e a variância é (1 − p)/p². Entre as discretas, é a única memoryless: o número de falhas que já aconteceram não diz nada sobre o que vem depois. Imagine lançar uma moeda honesta até dar cara. A chance de a primeira cara cair na 3ª jogada é 0,5·0,5·0,5 = 0,125.

Aplicações

Em engenharia de confiabilidade, serve para o tempo de espera até a primeira falha. No controle de qualidade, dá a posição da primeira peça defeituosa numa amostra. Também cobre casos do cotidiano, como o número de jogadas até tirar um 6 no dado, as tentativas até a primeira conexão de rede ou quantas candidaturas você manda até o primeiro sim.

Perguntas frequentes

k começa em 0 ou 1? As duas convenções aparecem nos livros. Aqui X é o número do ensaio em que o primeiro sucesso cai, então k ≥ 1. A outra versão conta as falhas antes do sucesso e começa em 0.

O que é memoryless? P(X > m + n | X > m) = P(X > n). Depois de m falhas, os ensaios que faltam seguem exatamente a mesma distribuição de quem está começando do zero. A sorte não se acumula.

Qual a relação com a binomial negativa? A geométrica nada mais é que a binomial negativa com r = 1, o caso em que você espera por um único sucesso. Some r geométricas independentes e o resultado é uma binomial negativa.

E se p = 0? Aí o primeiro sucesso nunca chega e a distribuição é degenerada. No outro extremo, p = 1 quer dizer que o primeiro ensaio sempre dá sucesso, então P(X = 1) = 1.