Média Geométrica

Média geométrica: a média certa para taxas de crescimento

A média geométrica de n valores positivos é MG = ⁿ√(x₁ · x₂ · … · xₙ), equivalente a exp(média dos logs) por estabilidade numérica. É a média correta para taxas de crescimento composto (CAGR) e grandezas multiplicativas. Exemplo: rendimentos de 2×, 8× e 32× → MG = ∛(2·8·32) = ∛512 = 8. A desigualdade das médias (AM-GM) garante MG ≤ média aritmética, com igualdade apenas quando todos os valores são iguais — por isso a média aritmética de retornos superestima o desempenho composto. Exige valores estritamente positivos; para negativos use deslocamento ou log-retorno.

Aplicações

Rentabilidade financeira (taxa equivalente anualizada, desempenho de fundos), crescimento populacional e econômico (CAGR), fotometria e astronomia (valor central em escalas log), titulações de anticorpos em biologia e o IDH da ONU, que combina suas três dimensões pela média geométrica para penalizar desequilíbrios.

Perguntas frequentes

Quando usar MG em vez da aritmética? Sempre que os valores se multiplicam (taxas, razões, variações percentuais). Para retornos em vários períodos, a MG dá a taxa constante equivalente; a aritmética não.

E se houver zeros ou negativos? Um zero força MG = 0. Negativos tornam a raiz n-ésima indefinida para n par. Para retornos, trabalhe com 1 + r em vez de r para que os valores fiquem positivos.

Por que o IDH usa MG? A média geométrica penaliza desequilíbrios: um país com renda alta mas educação baixa pontua pior do que outro com valores parecidos nas três dimensões — incentivando desenvolvimento equilibrado.