Raízes Equação Quadrática
Resolve ax²+bx+c=0 mostrando discriminante e raízes (reais ou complexas).
Raízes
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Raízes da quadrática via discriminante
Para resolver uma equação quadrática ax² + bx + c = 0 (com a ≠ 0), usamos x = (-b ± √Δ)/(2a), em que o discriminante vem de Δ = b² - 4ac. O sinal de Δ já adianta o tipo de raiz. Com Δ > 0 há duas raízes reais distintas; com Δ = 0, uma raiz real repetida; e com Δ < 0, duas raízes complexas conjugadas.
Exemplo: tome x² - 5x + 6 = 0. Aqui Δ = 25 - 24 = 1, então x = (5 ± 1)/2 e as raízes são 3 e 2. Dá para conferir pelas relações de Girard: a soma S = -b/a = 5 e o produto P = c/a = 6 batem certinho.
Aplicações
Quadráticas descrevem trajetórias balísticas sob gravidade constante e aparecem na óptica geométrica (espelhos e lentes parabólicas), na otimização em engenharia (áreas, curvas estruturais) e seguidamente no ENEM e nos vestibulares. O nome "fórmula de Bhaskara" é mais uma tradição da escola brasileira do que um crédito exato. Al-Khwarizmi (~820) já resolvia quadráticas por meios geométricos, enquanto Bhaskara II (séc. XII) contribuiu sobretudo em outras frentes da álgebra e nas raízes negativas.
Perguntas frequentes
E se a = 0? Aí já não é mais quadrática. A equação cai para a forma linear (bx + c = 0) e o discriminante não tem sobre o que agir.
O que Δ significa geometricamente? A parábola y = ax² + bx + c encontra o eixo x exatamente nas raízes reais. Com Δ > 0 ela cruza duas vezes, com Δ = 0 apenas tangencia, e com Δ < 0 nem chega ao eixo.
O que são raízes complexas conjugadas? Sempre que Δ < 0, as raízes assumem a forma x = -b/(2a) ± i·√(-Δ)/(2a). Elas vêm em pares que compartilham a mesma parte real, mas carregam partes imaginárias opostas.
Como fatorar usando as raízes? Chame as raízes de r₁ e r₂. O polinômio então se fatora como ax² + bx + c = a(x - r₁)(x - r₂).
Ferramentas Relacionadas
Equação do 2º Grau (Bhaskara)
Resolva equações do 2º grau (ax² + bx + c = 0) com a fórmula de Bhaskara. Exibe o discriminante Δ e as raízes reais.
Rendimento Teórico de Metano (Buswell)
Calcula o rendimento teórico de metano de um substrato pela equação de Buswell, que fecha o balanço estequiométrico da digestão anaeróbia de um composto CₙHₐO_bN_c em metano, gás carbônico e amônia: cada mol do substrato rende (4n + a − 2b − 3c) ÷ 8 mols de metano, e dividir esse valor pela massa molar e multiplicar pelo volume molar de 22,414 L/mol dá o rendimento em litros de metano por grama, na CNTP. Quanto menos oxigênio a molécula já traz, mais reduzida ela é e mais metano rende: celulose e glicose ficam em 0,41 e 0,37 L/g com 50% de metano no biogás, enquanto uma gordura como a triestearina passa de 1,02 L/g e chega a 71% de metano — a fração de metano no biogás é exatamente (4n + a − 2b − 3c) ÷ 8n, já que todo o carbono do substrato sai como metano ou como gás carbônico. O valor é um teto termodinâmico e não uma previsão de projeto: na prática o biodigestor entrega de 60% a 80% dele, porque parte do substrato vira biomassa bacteriana e parte não fica acessível às enzimas dentro do tempo de retenção disponível. Informe o número de átomos de carbono, de hidrogênio, de oxigênio e de nitrogênio da fórmula empírica do substrato.
Equação da lente fina (1/f)
Calcula a distância focal f via 1/f=1/o+1/i a partir das distâncias objeto/imagem em centímetros.
Teor de Alita C₃S do Clínquer (Bogue)
Estima o teor de silicato tricálcico, a alita ou C₃S, de um clínquer pela equação de Bogue, o balanço de massa que reparte os quatro óxidos principais entre as fases mineralógicas: C₃S = 4,071 × CaO − 7,600 × SiO₂ − 6,718 × Al₂O₃ − 1,430 × Fe₂O₃, com os teores em porcentagem de massa. A alita é a fase que dá resistência ao cimento nas primeiras idades, e clínquer Portland comum fica entre 50% e 65% — abaixo disso a resistência aos 3 e aos 7 dias despenca, acima disso sobe o consumo de combustível no forno e o calor de hidratação vira problema em peça de concreto massa. Os coeficientes negativos são grandes, então o resultado é muito sensível à análise química: meio ponto a mais de sílica derruba 3,8 pontos de C₃S, e uma composição fora da faixa de clínquer chega a devolver valor negativo, o que apenas significa que aquela mistura não tem cal suficiente para formar alita. Foi adotada a equação de Bogue clássica de quatro termos, própria de clínquer sem gesso; para cimento acabado a versão da ASTM C150 subtrai ainda 2,852 × SO₃ e desconta a cal livre do CaO. Informe os teores de CaO, SiO₂, Al₂O₃ e Fe₂O₃.
Força de Corte pela Equação de Kienzle
Calcula a força principal de corte pela equação de Kienzle, F_c = k_c1.1 · b · h^(1 − m_c), em que k_c1.1 é a força específica de corte tabelada do material da peça para uma seção de cavaco de referência de 1 mm × 1 mm, b é a largura e h a espessura do cavaco, e m_c é o expoente que descreve o efeito de escala. A diferença para o cálculo direto F_c = k_s·b·h está justamente aí: aquele trata a pressão específica como uma constante do material, enquanto Kienzle embute o fato experimental de que cavacos finos custam muito mais força por unidade de área, porque o raio de aresta deixa de ser desprezível diante da espessura do cavaco. Com k_c1.1 = 1500 N/mm² e m_c = 0,26, um cavaco de 0,2 mm de espessura trabalha a 2279 N/mm², 52 % acima do valor tabelado — é por isso que avanços muito baixos aumentam a potência gasta por milímetro cúbico removido e o desgaste da ferramenta em vez de poupá-los, ainda que a força absoluta caia. Como k_c1.1 carrega um milímetro elevado a m_c embutido, a equação não é dimensionalmente pura: a espessura e a largura precisam entrar em milímetros, e trocar a unidade erra o resultado por ordens de grandeza. Informe a força específica k_c1.1, o expoente m_c, a largura e a espessura do cavaco.
Temperatura de Transição Vítrea (Fox)
Calcula a temperatura de transição vítrea (Tg) de uma mistura ou copolímero pela equação de Fox, 1 ÷ Tg = w₁/Tg₁ + w₂/Tg₂, a partir da fração mássica w₁ do componente 1 (com w₂ = 1 − w₁) e das Tg de cada componente puro (em kelvin). O resultado, em K, é a temperatura em que a mistura passa do estado vítreo (rígido) para o estado borrachoso (flexível). A equação de Fox prevê a Tg de blendas miscíveis, copolímeros aleatórios e sistemas plastificados, sendo a base para ajustar a flexibilidade de um polímero pela adição de plastificantes ou comonômeros. Informe a fração mássica do componente 1 e as Tg dos dois componentes.
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