Raízes Equação Quadrática
Resolve ax²+bx+c=0 mostrando discriminante e raízes (reais ou complexas).
Raízes
—
Raízes da quadrática via discriminante
Para resolver uma equação quadrática ax² + bx + c = 0 (com a ≠ 0), usamos x = (-b ± √Δ)/(2a), em que o discriminante vem de Δ = b² - 4ac. O sinal de Δ já adianta o tipo de raiz. Com Δ > 0 há duas raízes reais distintas; com Δ = 0, uma raiz real repetida; e com Δ < 0, duas raízes complexas conjugadas.
Exemplo: tome x² - 5x + 6 = 0. Aqui Δ = 25 - 24 = 1, então x = (5 ± 1)/2 e as raízes são 3 e 2. Dá para conferir pelas relações de Girard: a soma S = -b/a = 5 e o produto P = c/a = 6 batem certinho.
Aplicações
Quadráticas descrevem trajetórias balísticas sob gravidade constante e aparecem na óptica geométrica (espelhos e lentes parabólicas), na otimização em engenharia (áreas, curvas estruturais) e seguidamente no ENEM e nos vestibulares. O nome "fórmula de Bhaskara" é mais uma tradição da escola brasileira do que um crédito exato. Al-Khwarizmi (~820) já resolvia quadráticas por meios geométricos, enquanto Bhaskara II (séc. XII) contribuiu sobretudo em outras frentes da álgebra e nas raízes negativas.
Perguntas frequentes
E se a = 0? Aí já não é mais quadrática. A equação cai para a forma linear (bx + c = 0) e o discriminante não tem sobre o que agir.
O que Δ significa geometricamente? A parábola y = ax² + bx + c encontra o eixo x exatamente nas raízes reais. Com Δ > 0 ela cruza duas vezes, com Δ = 0 apenas tangencia, e com Δ < 0 nem chega ao eixo.
O que são raízes complexas conjugadas? Sempre que Δ < 0, as raízes assumem a forma x = -b/(2a) ± i·√(-Δ)/(2a). Elas vêm em pares que compartilham a mesma parte real, mas carregam partes imaginárias opostas.
Como fatorar usando as raízes? Chame as raízes de r₁ e r₂. O polinômio então se fatora como ax² + bx + c = a(x - r₁)(x - r₂).
Ferramentas Relacionadas
Equação do 2º Grau (Bhaskara)
Resolva equações do 2º grau (ax² + bx + c = 0) com a fórmula de Bhaskara. Exibe o discriminante Δ e as raízes reais.
Equação da lente fina (1/f)
Calcula a distância focal f via 1/f=1/o+1/i a partir das distâncias objeto/imagem em centímetros.
Temperatura de Transição Vítrea (Fox)
Calcula a temperatura de transição vítrea (Tg) de uma mistura ou copolímero pela equação de Fox, 1 ÷ Tg = w₁/Tg₁ + w₂/Tg₂, a partir da fração mássica w₁ do componente 1 (com w₂ = 1 − w₁) e das Tg de cada componente puro (em kelvin). O resultado, em K, é a temperatura em que a mistura passa do estado vítreo (rígido) para o estado borrachoso (flexível). A equação de Fox prevê a Tg de blendas miscíveis, copolímeros aleatórios e sistemas plastificados, sendo a base para ajustar a flexibilidade de um polímero pela adição de plastificantes ou comonômeros. Informe a fração mássica do componente 1 e as Tg dos dois componentes.
Os resultados desta ferramenta têm caráter apenas informativo e educativo e não constituem aconselhamento profissional, financeiro, médico, jurídico, tributário ou contábil. Confirme decisões importantes com um profissional qualificado e fontes oficiais.