Regressão Linear y = ax + b

Regressão linear simples — coeficientes (a, b)

Os mínimos quadrados ordinários (OLS) ajustam a reta y = a·x + b minimizando a soma dos quadrados dos resíduos. A inclinação é a = Σ((xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)) / Σ(xᵢ−x̄)² e o intercepto b = ȳ − a·x̄. O coeficiente de determinação R² = SSR/SST indica a fração da variância de Y explicada pelo modelo. Exemplo: X=[1,2,3,4,5], Y=[2,1; 3,9; 6,2; 7,8; 10,1] dá a ≈ 2,00 e b ≈ 0,04, R² ≈ 0,999. Cada estimativa tem erro padrão que permite testes t para H₀: coeficiente = 0. O método foi publicado por Legendre (1805) e Gauss (1809).

Aplicações

Previsão de vendas, física experimental (lei de Hooke F = k·x, lei de Ohm V = R·I), econometria (curva de Phillips, funções de demanda), machine learning clássico (LinearRegression do scikit-learn), farmacologia (curvas de calibração) e controle de qualidade na engenharia.

Perguntas frequentes

Pressupostos de Gauss-Markov? Linearidade, independência dos erros, homocedasticidade (variância constante) e normalidade dos resíduos — necessários para o OLS ser BLUE (melhor estimador linear não-viesado).

R² próximo de 1 é sempre bom? Não — R² alto pode indicar sobreajuste ou correlação espúria. Sempre inspecione os gráficos de resíduos e use R² ajustado ao comparar modelos com número de preditores diferente.

E dados não lineares? Aplique transformações (log, √) ou use regressão polinomial / não linear. Outliers podem ser tratados com regressão robusta (Huber, RANSAC).