Magnitude de Vetor 3D

Magnitude de vetor 3D: |v| = √(x² + y² + z²)

A magnitude (ou norma) de um vetor 3D v = (x, y, z) é só o seu comprimento euclidiano, |v| = √(x² + y² + z²). É o teorema de Pitágoras esticado para um terceiro eixo. Em 2D a hipotenusa de um triângulo retângulo dá √(x² + y²); acrescente um z e você obtém a diagonal de uma caixa retangular de lados x, y, z, que vale √(x² + y² + z²). Pegue v = (2, 3, 6): |v| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. Divida cada componente por |v| e você tem o vetor unitário v̂ = v / |v|. Ele tem comprimento exatamente 1 e aponta na mesma direção que v, e é por isso que código gráfico usa isso para sombrear normais e a física separa direção de intensidade desse jeito. Essa mesma magnitude aparece no produto escalar u·v = |u||v|cos θ e no produto vetorial |u×v| = |u||v|sin θ.

Aplicações

Aparece sempre que um comprimento no espaço importa. CAD/CAM e impressão 3D usam para a distância entre dois pontos (x₁,y₁,z₁) e (x₂,y₂,z₂). Na física é o módulo de vetores de velocidade, força ou aceleração. GPS e aeroespacial trabalham em coordenadas ECEF, que são vetores 3D medidos a partir do centro da Terra. A bioinformática mede a distância entre átomos numa proteína ou o RMSD entre estruturas, e a computação gráfica normaliza vetores para iluminação, sombreamento e simulações físicas.

Perguntas frequentes

Por que usar 3D em vez de 2D? Porque o mundo real tem três dimensões. Não dá para representar altitude na navegação, profundidade numa cena gráfica ou uma coordenada z na física sem esse terceiro eixo.

Como obtenho o vetor unitário? Divida cada componente pela magnitude, ficando v̂ = (x/|v|, y/|v|, z/|v|). O que volta tem comprimento 1 e continua apontando na direção de v.

Funciona para vetores com componentes negativas? Sim. Cada componente é elevada ao quadrado, o que apaga o sinal. A magnitude se importa com o quão grande é cada coordenada, nunca se ela é positiva ou negativa.