Calculadora de projeção de vetor sobre vetor

Projeção de um vetor sobre outro

A projeção vetorial de u sobre v é o vetor na direção de v mais próximo de u: projv(u) = (u · v / |v|²) · v. O escalar u · v / |v|² é o coeficiente que reescala v; multiplicá-lo por |v| dá a projeção escalar (comprimento com sinal da sombra) compv(u) = u · v / |v|. A componente complementar u − projv(u) é a parte de u ortogonal a v; essa decomposição ortogonal é o tijolo do processo de Gram–Schmidt. Exemplo: u = (3, 4, 5), v = (1, 0, 0) → u · v = 3, |v|² = 1, então proj_v(u) = 3·(1, 0, 0) = (3, 0, 0); o resíduo ortogonal é (0, 4, 5).

Aplicações

Fundamental na física para separar uma força em componentes paralela e perpendicular a um plano inclinado (gravidade sobre rampa), em machine learning via ortogonalização de Gram–Schmidt, decomposição QR e branqueamento de PCA, em computação gráfica para vetores de reflexão e sombra (r = u − 2·projn(u)), em processamento de sinais para projetar sobre uma base (coeficientes de Fourier) e em robótica para extrair a componente de velocidade ao longo da direção de movimento.

Perguntas frequentes

E se v for o vetor nulo? |v|² = 0 e a fórmula fica indefinida — não há direção sobre a qual projetar. Trate a entrada como inválida.

Projeção vetorial vs projeção escalar — o que muda? A vetorial devolve um vetor ao longo de v; a escalar devolve apenas o módulo com sinal. Ligam-se por proj_v(u) = comp_v(u) · (v/|v|).

Por que às vezes o resultado aponta no sentido oposto a v? Quando u · v < 0 o ângulo entre u e v é obtuso, então a projeção aponta no sentido contrário ao de v. O sinal do produto escalar carrega a orientação.