Calculadora de projeção de vetor sobre vetor
Calcula a projeção escalar e vetorial de um vetor u sobre um vetor v em três dimensões usando produto escalar.
—
Projeção de um vetor sobre outro
A projeção vetorial de u sobre v é o vetor que aponta na direção de v e fica mais perto de u: projv(u) = (u · v / |v|²) · v. Aquele escalar lá na frente, u · v / |v|², é o que reescala v. Se em vez disso você multiplicá-lo por |v|, chega na projeção escalar, o comprimento com sinal da sombra, compv(u) = u · v / |v|. O que sobra, u − projv(u), é a parte de u que corre ortogonal a v, e é nessa decomposição ortogonal que o processo de Gram–Schmidt se apoia. Veja com u = (3, 4, 5), v = (1, 0, 0): u · v = 3 e |v|² = 1, então projv(u) = 3·(1, 0, 0) = (3, 0, 0), sobrando um resíduo ortogonal de (0, 4, 5).
Aplicações
Ela aparece em todo canto. Na física, você a usa para separar uma força em parte paralela e parte perpendicular a um plano inclinado, como a gravidade agindo sobre uma rampa. O machine learning recorre a ela na ortogonalização de Gram–Schmidt, na decomposição QR e no branqueamento de PCA. A computação gráfica precisa dela para vetores de reflexão e sombra (r = u − 2·projn(u)). No processamento de sinais é assim que se projeta sobre uma base para obter os coeficientes de Fourier, e na robótica ela extrai a componente de velocidade que segue a direção do movimento.
Perguntas frequentes
E se v for o vetor nulo? Aí |v|² = 0 e a fórmula deixa de fazer sentido. Não existe direção nenhuma sobre a qual projetar, então a entrada deve ser tratada como inválida.
Projeção vetorial vs projeção escalar — o que muda? A vetorial devolve um vetor ao longo de v, enquanto a escalar devolve só o módulo com sinal. As duas se ligam por projv(u) = compv(u) · (v/|v|).
Por que às vezes o resultado aponta no sentido oposto a v? Sempre que u · v < 0, o ângulo entre u e v é obtuso, e a projeção acaba apontando para o lado contrário ao de v. É o sinal do produto escalar que define a orientação.
Ferramentas Relacionadas
Produto Escalar 3D (Dot)
Calcule o produto escalar (produto interno) de dois vetores 3D a partir das coordenadas x, y e z. Útil em física, computação gráfica e geometria vetorial.
IPI sobre Produto
Calcule o IPI de um produto informando a base de cálculo e a alíquota. Descubra na hora o valor do imposto e o total com IPI incluído, sem complicação.
Calculadora de produto escalar em 3D
Calcula o produto escalar (dot product) de dois vetores em R3 a partir de suas componentes em uma linha.
I-Spread (Spread sobre o Swap)
Calcula o I-spread, a diferença entre o yield de um título e a taxa de swap interpolada de mesmo prazo. Ele mede o prêmio de crédito do papel contra a curva de swap, que muitos consideram uma referência melhor que a dos títulos do governo para precificar crédito. O resultado sai em pontos-base. É primo do G-spread, mas usa o swap, e não o governo, como base de comparação. Informe o yield do título e a taxa de swap de mesmo prazo.
Opção Rainbow sobre o Máximo (Stulz)
Calcula o preço de uma call sobre o máximo de dois ativos pela fórmula de Stulz (1982): a opção paga com base no melhor desempenho entre dois ativos correlacionados, menos o strike. É uma aposta no vencedor de uma corrida entre dois ativos, e seu preço depende fortemente da correlação entre eles — quanto menos correlacionados, mais valiosa, porque há mais chance de pelo menos um disparar. Usa a normal bivariada. Informe os dois preços, o strike, as duas volatilidades, a correlação, a taxa e o prazo.
G-Spread (Spread sobre o Governo)
Calcula o G-spread, a diferença entre o yield de um título e o yield de um título do governo de prazo comparável. É a medida mais direta do prêmio de risco de crédito de um papel: quanto a mais o mercado exige para emprestar a um emissor corporativo em vez do tesouro. O resultado sai em pontos-base, a unidade padrão do mercado de crédito. Informe o yield do título e o yield do título do governo de referência.
Os resultados desta ferramenta têm caráter apenas informativo e educativo e não constituem aconselhamento profissional, financeiro, médico, jurídico, tributário ou contábil. Confirme decisões importantes com um profissional qualificado e fontes oficiais.