Método de Newton-Raphson
Encontra raízes de f(x) = 0 usando Newton-Raphson com derivada numérica. Informe f(x) e um chute inicial x₀.
Raiz ≈ —
Método de Newton–Raphson para encontrar raízes
O método de Newton–Raphson resolve f(x) = 0 iterando x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f'(x_n). Cada passo troca f pela sua tangente em x_n e salta para onde essa tangente cruza o zero. A convergência é quadrática: o número de dígitos corretos aproximadamente dobra a cada iteração — extremamente rápido quando funciona. Requisitos: f precisa ser derivável e f' não pode estar perto de zero no iterado; um chute inicial ruim pode divergir ou ciclar. Exemplo — calcular √2 resolvendo x²−2=0 dá x_{n+1} = (x_n + 2/x_n)/2. De x₀=1: 1,5 → 1,4167 → 1,41422 → 1,41421356… (8 dígitos em 4 iterações). Quando f' é caro de calcular, métodos quasi-Newton como BFGS aproximam f' a partir dos passos anteriores.
Aplicações e contexto
Newton–Raphson alimenta solvers de planilha (Excel Solver e Atingir Meta), CAD/CAM (interseção de curvas, cinemática inversa em robótica), TIR em finanças, otimização em machine learning (passos de Newton e variantes quasi-Newton) e computação gráfica (ray marching, distance fields). É o root-finder padrão quando se tem derivada disponível barato.
Perguntas frequentes
E se Newton divergir? Encurrale a raiz antes com bisseção e depois troque para Newton quando estiver perto — é a ideia por trás do método de Brent.
Como parar? Testes usuais: |x_{n+1} − x_n| < tol, |f(x_n)| < tol ou um limite de iterações (50 costuma sobrar graças à convergência quadrática).
E se eu não tiver f'? Use o método da secante (estima f' a partir dos dois últimos iterados) — convergência superlinear (~1,618) sem precisar de derivada; ou autodiff se você tem o código-fonte de f.
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Número de Reynolds da Partícula
Calcula o número de Reynolds da partícula em sedimentação, Re_p = (ρ_w·v_s·d) ÷ μ, a partir da densidade do fluido ρ_w (kg/m³), da velocidade de sedimentação v_s (m/s), do diâmetro da partícula d (m) e da viscosidade dinâmica μ (Pa·s). O número de Reynolds da partícula caracteriza o regime do escoamento ao redor de uma partícula que sedimenta (ou é transportada) em um fluido, comparando as forças de inércia com as viscosas. Seu valor define QUAL fórmula de velocidade de sedimentação é válida: para Re_p < ~1, o escoamento ao redor da partícula é LAMINAR e vale a Lei de Stokes (arrasto proporcional à velocidade); para Re_p > ~1000, o escoamento é TURBULENTO e vale a lei de Newton (arrasto proporcional ao quadrado da velocidade); na faixa intermediária, usam-se correlações de transição (como a de Allen ou expressões para o coeficiente de arrasto em função de Re_p). Por isso, ao calcular uma velocidade de sedimentação pela Lei de Stokes, é ESSENCIAL verificar a posteriori se Re_p < 1 — se não for, o resultado de Stokes está errado e é preciso usar a fórmula do regime correto. O Reynolds de partícula é, portanto, o 'verificador' que valida o cálculo de sedimentação, e é central no projeto de decantadores, na classificação de partículas e no transporte hidráulico de sólidos. Informe a densidade do fluido, a velocidade de sedimentação, o diâmetro da partícula e a viscosidade.
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