Área da Elipse

Fórmula

A = π × a × b

Área da elipse

A elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante. Com semieixo maior a e semieixo menor b, a área é A = π·a·b. Para a = 5 m e b = 3 m, A = π · 5 · 3 ≈ 47,12 m². Quando a = b = r, a elipse vira um círculo e a fórmula se reduz a A = π·r². A excentricidade é e = √(1 - b²/a²): e = 0 é círculo e e → 1 é uma elipse alongada, quase parabólica.

Ao contrário da área, o perímetro não tem fórmula fechada elementar. A aproximação mais usada é a de Ramanujan: P ≈ π[3(a+b) - √((3a+b)(a+3b))], com precisão melhor que 0,01% para a maioria das elipses encontradas na prática. Valores exatos saem da integral elíptica completa de segunda espécie.

Aplicações: de órbitas planetárias à medicina

Kepler mostrou que os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos; a mesma forma rege cometas, satélites e orbitais eletrônicos em modelos semiclássicos. Pistas de atletismo têm extremidades semicirculares unidas por trechos retos, mas plantas de estádios e áreas de salto usam elipses verdadeiras. A propriedade reflexiva da elipse — um raio que parte de um foco reflete na parede e passa pelo outro foco — é a base da litotripsia, em que ondas de choque focadas por um refletor elíptico quebram cálculos renais sem cirurgia, e das "galerias de sussurros" em que uma voz num foco é ouvida nitidamente no outro.

Perguntas frequentes

O que são semieixos versus eixos completos? Os semieixos a e b são medidos do centro até a borda. Os eixos maior e menor completos (vértice a vértice) são 2a e 2b. Se o problema fornecer os eixos completos, divida por dois antes de aplicar a fórmula da área.

Como a área se compara ao retângulo que a contém? A elipse cabe num retângulo de lados 2a × 2b, cuja área é 4ab. A área πab da elipse é cerca de 78,5% do retângulo — exatamente a mesma razão de um círculo inscrito em um quadrado.

Como achar os focos? Os focos ficam sobre o eixo maior, a distância c = √(a² - b²) do centro, então a excentricidade é e = c/a.

A órbita da Terra é círculo ou elipse? Uma elipse, mas bem fraca — excentricidade ~0,0167, então a diferença entre periélio e afélio é só cerca de 3,3%.