Calculadora de Área por Shoelace
Calcula a área de um polígono simples (não auto-interseccionando) pela fórmula do cadarço (Shoelace) dados vértices (x,y).
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Área de polígono — fórmula do cadarço
Dê à fórmula do cadarço (também conhecida como fórmula de Gauss) as coordenadas dos vértices de um polígono e ela devolve a área. Vale para qualquer polígono simples, seja ele convexo ou côncavo, regular ou irregular: A = ½·|Σᵢ(xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|, com índices módulo n. Tire o módulo e o sinal passa a contar algo útil. Ele fica positivo quando os vértices estão em sentido anti-horário e negativo quando estão no horário, então a orientação do polígono sai direto da conta. Veja com os vértices (0,0), (4,0), (4,3), (2,5), (0,3): A = ½·|(0·0 − 4·0) + (4·3 − 4·0) + (4·5 − 2·3) + (2·3 − 0·5) + (0·0 − 0·3)| = ½·|0 + 12 + 14 + 6 + 0| = 16.
Aplicações
Algoritmo central em GIS (sistemas de informações geográficas) para calcular a área de terrenos georreferenciados, bacias hidrográficas e zonas de proteção; em softwares CAD para propriedades de polígonos; em geometria computacional para rotinas de envoltória convexa e triangulação. No Brasil, o INCRA usa cálculos do tipo shoelace no sistema SIGEF para verificar áreas de imóveis rurais declaradas em certificações georreferenciadas. Arquitetos usam para áreas de plantas baixas a partir de listas de vértices de CAD.
Perguntas frequentes
A ordem dos vértices importa? Sim — os vértices precisam estar listados sequencialmente ao redor do perímetro (todos em sentido horário ou todos anti-horário). Ordem embaralhada gera uma área diferente — geralmente errada.
Funciona para polígonos côncavos? Sim, desde que o polígono seja simples (arestas que não se cruzam). Polígonos auto-interceptantes geram uma soma algébrica de áreas com sinal, não a área geométrica.
Por que "cadarço"? Escrevendo as coordenadas em duas colunas e desenhando os produtos cruzados, o resultado visual lembra o entrelaçamento de um cadarço de sapato — daí o apelido.
Como o sinal indica orientação? Se a soma com sinal é positiva, os vértices estão em sentido anti-horário; se negativa, em sentido horário. Em GIS isso é explorado para padronizar a ordem dos vértices em shapefiles.
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