Calculadora de Área por Shoelace

Área de polígono — fórmula do cadarço

A fórmula do cadarço (também chamada fórmula de Gauss) calcula a área de qualquer polígono simples — convexo ou côncavo, regular ou irregular — a partir das coordenadas dos vértices: A = ½·|Σᵢ(xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|, com índices módulo n. O valor com sinal (sem o módulo) é positivo para vértices em sentido anti-horário e negativo em sentido horário — útil para detectar a orientação do polígono. Exemplo com vértices (0,0), (4,0), (4,3), (2,5), (0,3): A = ½·|(0·0 − 4·0) + (4·3 − 4·0) + (4·5 − 2·3) + (2·3 − 0·5) + (0·0 − 0·3)| = ½·|0 + 12 + 14 + 6 + 0| = 16.

Aplicações

Algoritmo central em GIS (sistemas de informações geográficas) para calcular a área de terrenos georreferenciados, bacias hidrográficas e zonas de proteção; em softwares CAD para propriedades de polígonos; em geometria computacional para rotinas de envoltória convexa e triangulação. No Brasil, o INCRA usa cálculos do tipo shoelace no sistema SIGEF para verificar áreas de imóveis rurais declaradas em certificações georreferenciadas. Arquitetos usam para áreas de plantas baixas a partir de listas de vértices de CAD.

Perguntas frequentes

A ordem dos vértices importa? Sim — os vértices precisam estar listados sequencialmente ao redor do perímetro (todos em sentido horário ou todos anti-horário). Ordem embaralhada gera uma área diferente — geralmente errada.

Funciona para polígonos côncavos? Sim, desde que o polígono seja simples (arestas que não se cruzam). Polígonos auto-interceptantes geram uma soma algébrica de áreas com sinal, não a área geométrica.

Por que "cadarço"? Escrevendo as coordenadas em duas colunas e desenhando os produtos cruzados, o resultado visual lembra o entrelaçamento de um cadarço de sapato — daí o apelido.

Como o sinal indica orientação? Se a soma com sinal é positiva, os vértices estão em sentido anti-horário; se negativa, em sentido horário. Em GIS isso é explorado para padronizar a ordem dos vértices em shapefiles.