Multiplicação de Complexos

Produto de complexos: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Para multiplicar dois complexos, você distribui os termos e aplica i² = −1: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i. Veja (1 + i)(1 − i) = 1 − i² = 1 − (−1) = 2; multiplicar conjugados devolve você à reta dos reais. A forma polar z = |z|·e^(iθ) facilita tudo, já que z₁ · z₂ = |z₁||z₂| · e^(i(θ₁ + θ₂)), ou seja, os módulos multiplicam e os argumentos (fases) somam. Há uma imagem por trás disso. Multiplicar por um complexo é o mesmo que escalar e rotacionar um ponto no plano, e multiplicar por i (isto é, e^(iπ/2)) gira um vetor exatamente 90°. A identidade de Euler, e^(iπ) + 1 = 0, muitas vezes chamada de a mais bela da matemática, amarra cinco constantes fundamentais (0, 1, π, e, i) e cai direto dessa representação.

Aplicações

A computação gráfica e os motores de jogos usam isso para rotações 2D, onde rende uma alternativa enxuta às matrizes 2x2. A FFT também depende disso: o algoritmo Cooley-Tukey se baseia em multiplicações por raízes da unidade e^(2πik/N). Na eletrônica, a impedância complexa Z = R + jX reúne resistência e reatância, e circuitos em série ou paralelo multiplicam essas impedâncias. A física quântica escreve seus operadores de evolução como exponenciais complexas, e a análise de sinais AC se importa justamente com isso quando a diferença de fase entra em cena.

Perguntas frequentes

Por que multiplicar por i gira 90°? Porque i = e^(iπ/2). Na forma polar, multiplicar por i acrescenta π/2 (90°) ao argumento e deixa o módulo intacto. Fazendo a conta, (x + yi) · i = −y + xi, que é só o vetor original virado 90° no sentido anti-horário.

O que é o conjugado e para que serve? O conjugado de z = a + bi é z̄ = a − bi. O produto z · z̄ = a² + b² = |z|² é sempre real, e é isso que o torna útil para racionalizar denominadores e calcular módulos.

Como divido complexos? Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²). Assim sobra um número real embaixo, que é todo o objetivo.