Multiplicação de Matrizes

Multiplicação de matrizes: A(m×n) · B(n×p) = C(m×p)

A multiplicação de matrizes é a operação central da álgebra linear: cada entrada do produto é o produto escalar de uma linha de A com uma coluna de B — C[i][j] = Σ A[i][k]·B[k][j]. O número de colunas de A precisa ser igual ao número de linhas de B; o resultado tem as linhas de A e as colunas de B. Exemplo: A = [[1,2],[3,4]] e B = [[5,6],[7,8]] dão C = [[19,22],[43,50]]. O produto não é comutativo: em geral A·B ≠ B·A. Multiplicar pela matriz identidade I deixa a matriz inalterada: A·I = A. O algoritmo ingênuo é O(n³); Strassen reduziu para O(n^2.81) e Coppersmith–Winograd e sucessores para cerca de O(n^2.37) — Williams reduziu recentemente para ≈2,371. Na prática, bibliotecas BLAS e tensor cores de GPU (NVIDIA H100, Apple M3 Neural Engine) dão enormes ganhos de velocidade.

Aplicações

Composição de transformações lineares (um pipeline gráfico 3D encadeia rotação × escala × translação como um único produto matricial), redes neurais (cada camada é essencialmente uma multiplicação de matrizes seguida de não-linearidade), cadeias de Markov (estado_{t+1} = P · estado_t), resolução de sistemas lineares Ax = b via inversa, visão computacional (matrizes de projeção de câmera) e estatística (covariância e regressão por mínimos quadrados).

Perguntas frequentes

Por que as dimensões internas precisam coincidir? Porque cada entrada do resultado é um produto escalar de uma linha de A com uma coluna de B — eles precisam ter o mesmo número de elementos, ou seja, colunas(A) = linhas(B).

A multiplicação de matrizes é associativa? Sim: (A·B)·C = A·(B·C). Também é distributiva em relação à soma. Só não é comutativa.

Quando vale A·B = B·A? Apenas em casos especiais, por exemplo quando ambas são diagonais, quando uma é a identidade ou um múltiplo escalar dela, ou quando compartilham a mesma base de autovetores.