Fibonacci N-ésimo
Retorna o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci (F₀=0, F₁=1).
Fₙ
—
O n-ésimo termo de Fibonacci
A sequência de Fibonacci parte de F(0) = 0, F(1) = 1 e, daí em diante, F(n) = F(n−1) + F(n−2) para n ≥ 2. Obter só o n-ésimo termo, sem escrever a sequência toda antes dele, é um problema clássico de algoritmos. Existe uma forma fechada, a fórmula de Binet: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, com φ = (1+√5)/2 ≈ 1,6180 e ψ = (1−√5)/2. Assim, F(10) = (φ¹⁰ − ψ¹⁰)/√5 = 55. E como ficam os algoritmos comparados? A recursão ingênua é O(2ⁿ), exponencial porque refaz os mesmos subproblemas o tempo todo. Acrescente memoização à versão top-down e você cai para O(n). A abordagem iterativa com duas variáveis também é O(n), mas usa memória O(1). Binet roda em O(1), só que começa a errar por causa do ponto flutuante quando n > 70. Já a exponenciação matricial com [[1,1],[1,0]]ⁿ chega a O(log n).
Aplicações
F(n) aparece na natureza, da filotaxia às espirais de girassóis e pinhas. Surge também em arte e arquitetura, como no Modulor de Le Corbusier, e na análise técnica de mercados, em que se observam as retrações de Fibonacci em 23,6%, 38,2% e 61,8%. Nos cursos de computação, vira exercício clássico para ensinar recursão e programação dinâmica.
Perguntas frequentes
Por que Binet não funciona para n muito grande? A aritmética de ponto flutuante esgota a precisão. Por volta de n > 70 o valor que ela devolve já não bate com o inteiro de Fibonacci exato.
Qual algoritmo é mais rápido na prática? Quando n é moderado, digamos até alguns milhares, o iterativo O(n) é o mais simples e já roda rápido o suficiente. Com n enorme, a exponenciação matricial O(log n) leva a melhor.
O índice começa em 0 ou 1? Hoje o padrão é F(0) = 0, F(1) = 1. Ainda há textos antigos que escrevem F(1) = F(2) = 1, e isso desloca todos os índices em um.
Ferramentas Relacionadas
Sequência de Fibonacci
Gere os N primeiros termos da sequência de Fibonacci. Exibe a sequência, o enésimo termo e a soma de todos os termos.
Teste z para uma Média (σ Conhecido)
Calcula o teste z para uma média quando o desvio-padrão da população é conhecido. É o caso mais simples de teste de hipótese sobre uma média: a estatística mede quantos erros padrão separam a média observada do valor hipotético. Quando σ é conhecido (ou a amostra é grande), usa-se a distribuição normal em vez da t. A ferramenta devolve a estatística z e o valor-p bilateral. Informe a média amostral, a média hipotética, o desvio populacional e o tamanho da amostra.
Índice de Sharpe a partir de Série
Calcula o índice de Sharpe diretamente de uma série de retornos: a média dos retornos menos a taxa livre de risco, dividida pelo desvio-padrão amostral. É a forma mais prática de obter o Sharpe quando você tem o histórico em mãos, sem precisar calcular média e volatilidade à parte. Lembre que o resultado vem na frequência dos dados informados — para anualizar retornos mensais, multiplique por raiz de doze. Informe a lista de retornos e a taxa livre de risco no mesmo período.
Os resultados desta ferramenta têm caráter apenas informativo e educativo e não constituem aconselhamento profissional, financeiro, médico, jurídico, tributário ou contábil. Confirme decisões importantes com um profissional qualificado e fontes oficiais.