Momento de inércia (esfera sólida)

Momento de inércia da esfera

Para rotação em torno de um diâmetro, uma esfera sólida de massa M e raio R tem I = (2/5)·M·R²; uma casca esférica fina (esfera oca) tem I = (2/3)·M·R². Com M = 5 kg e R = 0,2 m, o caso sólido dá I = 0,4·5·0,04 = 0,08 kg·m². A Terra, embora aproximadamente esférica, tem um núcleo mais denso: seu momento de inércia medido é I ≈ 0,33·M·R² — menor que 2/5, justamente porque a massa se concentra perto do centro.

Numa demonstração clássica, uma bola sólida e uma bola oca de mesma massa e raio rolam por uma rampa: a oca (maior I) chega depois porque mais energia vira rotação, menos translação.

Aplicações: planetas, giroscópios e experimentos de rolamento

Geofísicos inferem a estrutura interna de densidade dos planetas a partir do momento de inércia medido (0,33 da Terra vs 0,4 indica núcleo denso). A dinâmica rotacional de giroscópios, rolamentos de esferas e bolas de boliche depende de I. O experimento da bola na rampa é clássico em laboratórios de física justamente porque (2/5)MR² para a esfera sólida prevê a aceleração a = (5/7)·g·senθ, ligeiramente menor que o resultado (2/3) da esfera oca — mensurável com um cronômetro.

Perguntas frequentes

Por que (2/3) é maior que (2/5)? A casca oca tem toda a massa no raio R; a esfera sólida tem massa distribuída de 0 a R, reduzindo o peso médio r² em I = ∫r² dm.

Qual o coeficiente de momento de inércia da Terra? Cerca de 0,3307·M·R² — medido por rastreamento de satélites. Menor que 0,4 porque o núcleo de ferro é muito mais denso que o manto.

I depende do eixo? Para uma esfera uniforme, qualquer eixo passando pelo centro dá o mesmo I (simetria total). Para corpos não esféricos ou estratificados, depende.

Qual rola mais rápido, sólida ou oca? A sólida. Com menos I por kg·R², mais da energia potencial gravitacional vira EC translacional em vez de rotação.