Probabilidade Soma de Dados
P(soma = s) com N dados de 6 faces — via DP (convolução).
P(soma=s)
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Probabilidade da soma de n dados: um clássico da combinatória
Ao lançar 2d6 você tem 6×6 = 36 resultados ordenados, todos igualmente prováveis. A soma cai entre 2 e 12, só que nem todas aparecem com a mesma frequência. P(2) = 1/36 exige exatamente 1+1, enquanto P(7) = 6/36 = 1/6 pode sair de 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 ou 6+1. Por isso 7 é a soma mais provável e o pico de uma distribuição triangular. Com nd6, conta-se as composições da soma alvo usando parcelas em [1,6], o que dá para resolver com funções geradoras ou recursão. Aumente n e o formato vai escorregando para uma distribuição normal, graças ao Teorema Central do Limite, com média 3,5n e variância ≈ 2,92n.
Aplicações
Os jogos de tabuleiro vivem disso. Em Catan, montar perto de 6 e 8 compensa porque são os números que mais saem. No Monopoly, todo mundo sabe que 7 é a soma comum, e é por isso que a Cadeia e o terceiro lado do tabuleiro recebem mais visitas. D&D e RPGs usam 2d6, 3d6 ou 4d6 descartando o menor para gerar atributos, e Yahtzee roda na mesma lógica. Também vira um exemplo prático e enxuto para ensinar probabilidade na escola.
Perguntas frequentes
Por que 7 é a soma mais provável em 2d6? Ela fica bem no centro do intervalo [2,12] e tem o maior número de combinações por trás, seis delas. Já os extremos 2 e 12 só têm uma maneira de aparecer.
A fórmula vale para dados não-padrão (d4, d8, d20)? Vale sim. É só trocar [1,6] por [1,k] na hora de contar. A soma mais provável é sempre o inteiro que estiver mais perto de n·(k+1)/2.
Por que 4d6 descartando o menor gera personagens mais fortes em D&D? Jogar fora o menor dado empurra a distribuição inteira para cima. O valor esperado sobe de 10,5 no 3d6 para cerca de 12,2, e a chance de tirar 16+ em qualquer atributo também aumenta.
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