Probabilidade Soma de Dados
P(soma = s) com N dados de 6 faces — via DP (convolução).
P(soma=s)
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Probabilidade da soma de n dados: um clássico da combinatória
Ao lançar 2d6 você tem 6×6 = 36 resultados ordenados, todos igualmente prováveis. A soma cai entre 2 e 12, só que nem todas aparecem com a mesma frequência. P(2) = 1/36 exige exatamente 1+1, enquanto P(7) = 6/36 = 1/6 pode sair de 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 ou 6+1. Por isso 7 é a soma mais provável e o pico de uma distribuição triangular. Com nd6, conta-se as composições da soma alvo usando parcelas em [1,6], o que dá para resolver com funções geradoras ou recursão. Aumente n e o formato vai escorregando para uma distribuição normal, graças ao Teorema Central do Limite, com média 3,5n e variância ≈ 2,92n.
Aplicações
Os jogos de tabuleiro vivem disso. Em Catan, montar perto de 6 e 8 compensa porque são os números que mais saem. No Monopoly, todo mundo sabe que 7 é a soma comum, e é por isso que a Cadeia e o terceiro lado do tabuleiro recebem mais visitas. D&D e RPGs usam 2d6, 3d6 ou 4d6 descartando o menor para gerar atributos, e Yahtzee roda na mesma lógica. Também vira um exemplo prático e enxuto para ensinar probabilidade na escola.
Perguntas frequentes
Por que 7 é a soma mais provável em 2d6? Ela fica bem no centro do intervalo [2,12] e tem o maior número de combinações por trás, seis delas. Já os extremos 2 e 12 só têm uma maneira de aparecer.
A fórmula vale para dados não-padrão (d4, d8, d20)? Vale sim. É só trocar [1,6] por [1,k] na hora de contar. A soma mais provável é sempre o inteiro que estiver mais perto de n·(k+1)/2.
Por que 4d6 descartando o menor gera personagens mais fortes em D&D? Jogar fora o menor dado empurra a distribuição inteira para cima. O valor esperado sobe de 10,5 no 3d6 para cerca de 12,2, e a chance de tirar 16+ em qualquer atributo também aumenta.
Ferramentas Relacionadas
Probabilidade de Toque (Probability of Touch)
Estima a probabilidade de que o preço de um ativo toque um determinado nível (barreira) antes do vencimento, usando a aproximação do princípio da reflexão: cerca de duas vezes a probabilidade de terminar além da barreira, 2·N(−|d|), com d = ln(H/S)/(σ√T). É a conta de cabeça que traders usam para opções com barreira e para julgar a chance de um stop ser acionado. Vale para a hipótese de deriva nula; com juros altos a probabilidade real fica um pouco maior. Informe o preço à vista, o nível da barreira, a volatilidade e o prazo.
Capacitores em paralelo (Cp)
Cp = C1 + C2.
Teste Binomial Exato
Calcula o teste binomial exato, que verifica se a proporção de sucessos observada é compatível com uma probabilidade hipotética, sem recorrer à aproximação normal. Para amostras pequenas, em que o teste z falha, este é o teste correto: ele soma as probabilidades exatas, dadas pela distribuição binomial, de todos os resultados tão ou menos prováveis que o observado. Por exemplo: 8 caras em 10 lançamentos são compatíveis com uma moeda honesta? Informe os sucessos, o total e a probabilidade hipotética.
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