Produto Escalar 3D (Dot)
Calcule o produto escalar (produto interno) de dois vetores 3D a partir das coordenadas x, y e z. Útil em física, computação gráfica e geometria vetorial.
a · b
—
Produto escalar u · v em 3D
O produto escalar de dois vetores 3D u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é o escalar u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = |u|·|v|·cos θ, sendo θ o ângulo entre eles. Sai um único número, não um vetor. Se u · v = 0, os vetores são perpendiculares (ortogonais). Um resultado positivo indica ângulo agudo; um negativo, obtuso. Pegue (1, 2, 3) · (4, 5, 6) = 4 + 10 + 18 = 32. Reorganizando para o ângulo, você chega em cos θ = (u · v) / (|u|·|v|), que é a similaridade do cosseno tão usada em machine learning. Algumas propriedades vale a pena guardar: é comutativo, u · v = v · u, distribui sobre a soma, e u · u = |u|², a norma ao quadrado.
Aplicações
Na física, serve para o trabalho mecânico, W = F · d. Dá a projeção ortogonal de u sobre v, proj = (u · v / |v|²) · v, o ângulo entre dois vetores e a ortogonalização de Gram-Schmidt. E tem o cosseno de similaridade em machine learning, que está no centro do NLP (word embeddings como Word2Vec, embeddings de sentenças), da busca semântica e dos sistemas de recomendação, em qualquer lugar onde se queira comparar vetores de alta dimensão por direção, e não por magnitude.
Perguntas frequentes
u · v = 0 sempre significa perpendicular? Só quando u e v são ambos não nulos. O vetor nulo dá produto escalar 0 com qualquer outro, mas chamá-lo de perpendicular não faz muito sentido geométrico.
Qual a diferença entre produto escalar e cosseno de similaridade? O cosseno é o produto escalar depois de normalizar, (u · v) / (|u|·|v|). Tirar as magnitudes deixa um valor em [-1, 1] que reflete só o ângulo entre os vetores.
O produto escalar pode ser negativo? Sim, toda vez que o ângulo entre u e v passa de 90° (cos θ < 0). Um valor negativo te diz que os dois vetores apontam em sentidos aproximadamente opostos.
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