Volume de Tetraedro Regular

Volume do Tetraedro Regular: V = a³/(6√2)

Entre os cinco sólidos platônicos, o tetraedro regular é o mais enxuto. São quatro faces triangulares equiláteras congruentes, quatro vértices e seis arestas, cada uma com comprimento a. O volume sai como V = a³ / (6√2) ≈ 0,1178·a³. Com aresta a = 10, por exemplo, você chega a V ≈ 117,85 unidades cúbicas. A área superficial é A = √3·a², e a altura que vai do vértice até a face do lado oposto vale h = a·√(2/3). Ele é o seu próprio dual e é o único sólido platônico em que toda face encosta em todas as outras. Aparece na molécula de metano (CH4), com quatro hidrogênios nos vértices em volta de um carbono central, e também sustenta a rede cristalina do diamante.

Aplicações

Surge na química (hibridização sp3, geometria do metano CH4 e da amônia NH3), nas embalagens (caixas Tetra Pak; o design original de 1944 era um tetraedro regular, e foi de onde veio o nome da marca), em estruturas geodésicas e space-frames leves, na computação gráfica (tetraedralização de malha para análise de elementos finitos), nos dados de RPG (o d4) e na cristalografia do diamante e do silício.

Perguntas frequentes

Por que aparece √2 na fórmula? Vem da altura. Ao projetar o vértice no centroide do triângulo oposto, surge o fator √(2/3); quando você faz área da base vezes altura dividida por três, a álgebra se ajeita em 1/(6√2).

Como se compara a um cubo da mesma aresta? Um cubo de aresta a tem volume a³, então o tetraedro ocupa por volta de 11,78% disso. Tetraedros regulares sozinhos não preenchem o espaço; para tesselar é preciso combiná-los com octaedros regulares.

Qual é o ângulo diedral? Entre duas faces adjacentes ele vale arccos(1/3) ≈ 70,53°. É por isso que quatro bolhas de sabão que se encontram num ponto formam ângulos de 109,47°, que é o suplemento desse valor, o ângulo tetraédrico clássico.