Combinações C(n,k)
Calcule as combinações C(n,k): de quantas formas é possível escolher k itens de um conjunto de n, sem importar a ordem. Base da análise combinatória.
C(n,k)
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Combinações C(n,k): fórmula e exemplos
Uma combinação de n objetos tomados k a k, em que a ordem não importa, é o coeficiente binomial C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!). Dá para visualizar com alguns casos conhecidos de loterias e cartas. A Mega-Sena (6 de 60) tem C(60,6) = 50.063.860 bilhetes possíveis. A Lotofácil (15 de 25) resulta em C(25,15) = 3.268.760. Uma mão de pôquer de 5 cartas tirada de um baralho de 52 dá C(52,5) = 2.598.960. Algumas identidades aparecem o tempo todo: a simetria, C(n,k) = C(n,n−k); a soma sobre todos os k de 0 a n, ΣC(n,k) = 2ⁿ, que conta os subconjuntos de um conjunto de n elementos; e a identidade de Vandermonde, C(m+n,k) = Σ C(m,i)·C(n,k−i).
Aplicações: probabilidade, loterias e ENEM
Combinações estão por trás da probabilidade clássica (os casos favoráveis sobre possíveis de Laplace) e das odds em loterias e pôquer, além de serem conteúdo certo de ENEM e vestibulares. A mesma contagem reaparece quando você escolhe uma comissão, monta um menu-degustação, tira uma amostra em estatística ou lê o triângulo de Pascal.
Perguntas frequentes
Combinação ou permutação? Quando a ordem do que você escolheu não faz diferença (um sorteio, uma comissão, uma mão de cartas), use combinação. Quando a ordem muda o resultado (um pódio, uma senha), use permutação.
Por que C(n,k) = C(n,n−k)? Decidir quais k entram é exatamente a mesma decisão de definir quais n−k ficam de fora.
E se k = 0 ou k = n? Os dois dão 1. Há uma única forma de não levar nada e uma única forma de levar tudo.
E se k > n? Aí C(n,k) = 0. Não há como escolher mais elementos do que os que existem.
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