Calculadora de área de polígono Shoelace

Área de polígono por vértices — fórmula do cadarço

A fórmula do cadarço (também conhecida como fórmula de Gauss) retorna a área de qualquer polígono simples a partir das coordenadas dos seus vértices listados em ordem: A = ½·|Σᵢ(xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|, com índices módulo n. Funciona para polígonos convexos e côncavos indistintamente, desde que as arestas não se cruzem. A soma com sinal (sem o módulo) carrega a orientação: positivo significa vértices em sentido anti-horário, negativo em sentido horário. Exemplo com o retângulo (0,0), (4,0), (4,3), (0,3): A = ½·|(0·0−4·0) + (4·3−4·0) + (4·3−0·3) + (0·0−0·3)| = ½·|0 + 12 + 12 + 0| = 12.

Aplicações

Algoritmo padrão em ferramentas GIS como QGIS e ArcGIS para calcular áreas de imóveis georreferenciados, bacias hidrográficas, zonas de conservação e manchas urbanas. No Brasil, o sistema SIGEF do INCRA usa cálculo do tipo shoelace para validar a área de imóveis rurais em certificações georreferenciadas. Usada em softwares CAD (AutoCAD, BricsCAD) para extrair áreas de polígonos a partir de listas de vértices; em desenvolvimento de jogos para polígonos de colisão e visibilidade; em geometria computacional para rotinas de envoltória e triangulação.

Perguntas frequentes

Funciona para polígonos côncavos? Sim — para qualquer polígono simples (arestas que não se cruzam), convexo ou côncavo. Polígonos auto-interceptantes geram uma soma algébrica de áreas com sinal, não a área geométrica.

A ordem dos vértices importa? Sim — liste-os sequencialmente ao redor do perímetro, todos em sentido horário ou todos anti-horário. Ordem embaralhada produz um número sem sentido.

O que significa o sinal do resultado sem módulo? Soma positiva = vértices anti-horários; negativa = horários. GIS usa isso para padronizar a orientação (ex.: CCW para anéis externos, CW para furos em shapefiles).

Fecha o polígono automaticamente? Sim — o módulo nos índices liga o último vértice ao primeiro, então não repita o primeiro ponto no final.