Área do Polígono Regular

Fórmula

A = (n × l²) / (4 × tan(π/n))   onde n ≥ 3.

Área do polígono regular

Um polígono regular tem N lados iguais de comprimento L e N ângulos internos iguais. A área é A = (N·L²) / (4·tan(π/N)), ou de forma equivalente A = (1/2)·N·L·a, onde a é o apótema (distância do centro ao meio de um lado). Para N = 5 e L = 10 m: A = (5·100) / (4·tan(36°)) ≈ 172,05 m².

Cada ângulo interno mede (N−2)·180°/N e a soma de todos os ângulos internos vale (N−2)·180°. Quando N cresce, o polígono se aproxima de um círculo: no limite, sua área tende a π·r². Para polígonos irregulares, use a fórmula do shoelace (Gauss) A = (1/2)|Σ(x_i·y_{i+1} − x_{i+1}·y_i)| sobre os vértices em ordem.

Aplicações

Polígonos regulares aparecem em arquitetura (o Pentágono, torres octogonais), no desenho de moedas (as moedas britânicas de 20 e 50 pence são heptagonais — a largura constante em qualquer direção permite que máquinas de venda automática as reconheçam), em ladrilhamento de pisos e telhados (triângulos, quadrados e hexágonos pavimentam o plano sozinhos) e em robótica, onde aproximações poligonais de obstáculos viabilizam o planejamento de trajetórias.

Perguntas frequentes

Quais polígonos regulares pavimentam o plano? Apenas o triângulo equilátero (N=3), o quadrado (N=4) e o hexágono regular (N=6) pavimentam o plano sozinhos — seus ângulos internos dividem 360° de forma exata.

O que é o apótema? A distância perpendicular do centro do polígono até o meio de qualquer lado: a = L / (2·tan(π/N)). Também é o raio do círculo inscrito.

Como se calcula o perímetro? P = N·L. Um pentágono com L = 10 tem P = 50 m.

Por que a área tende a π·r² quando N cresce? Um polígono regular inscrito em um círculo de raio r preenche cada vez mais do disco à medida que N aumenta; no limite, polígono e círculo coincidem.