Calculadora de Polígono Regular

Polígono regular: perímetro, área e apótema

Um polígono regular tem N lados iguais de comprimento L e ângulos internos iguais. O perímetro é P = N · L; o apótema (distância do centro ao meio do lado) é a = L / (2 · tan(π/N)); o raio circunscrito (centro até vértice) é R = L / (2 · sen(π/N)). A área pode ser A = ½ · P · a ou direto A = (N · L²) / (4 · tan(π/N)). O ângulo interno é (N − 2) · 180° / N — 60° no triângulo, 90° no quadrado, 108° no pentágono, 120° no hexágono, 135° no octógono. A construção com régua e compasso só é exata para polígonos de Gauss: N = 2^k · p₁ · p₂ · … em que os pᵢ são primos de Fermat distintos (3, 5, 17, 257, 65537). Gauss construiu o 17-gono aos 19 anos, em 1796. Exemplo: hexágono regular de lado 10 tem P = 60, a = 10/(2·tan(30°)) ≈ 8,66, A = ½·60·8,66 ≈ 259,81.

Aplicações: arquitetura, moedas e jogos

Polígonos regulares aparecem em arquitetura (o Pentágono, em Washington; octógonos em ladrilhamentos bizantinos), moedas (libra britânica 12 lados, loonie canadense 11 lados), mosaicos e arte geométrica islâmica, design de ferramentas (parafuso Allen sextavado, cabos octogonais) e jogos de tabuleiro como Catan (peças hexagonais) e dama chinesa (hexagrama).

Perguntas frequentes

Por que o hexágono ladrilha perfeitamente? Seu ângulo interno de 120° divide 360° em três partes iguais, então três hexágonos se encontram em cada vértice. Só triângulos (6×60°), quadrados (4×90°) e hexágonos (3×120°) ladrilham o plano sozinhos.

Para que serve o apótema? Permite calcular a área como ½·P·a, tratando o polígono como N triângulos iguais de base L e altura a — útil quando se conhece o perímetro mas não a área direta.

Todo polígono regular pode ser construído com régua e compasso? Não. Apenas aqueles cujo N é produto de uma potência de 2 por primos de Fermat distintos. O heptágono (7 lados) e o eneágono (9) são famosamente impossíveis.

Como a área cresce com N? Para raio circunscrito R fixo, a área tende a πR² quando N → ∞; para lado L fixo, a área cresce aproximadamente como N²/(4π).